【11.5】数学思维-解可怜的小猪

一、题目

        有 buckets 桶液体，其中 正好有一桶 含有毒药，其余装的都是水。它们从外观看起来都一样。为了弄清楚哪只水桶含有毒药，你可以喂一些猪喝，通过观察猪是否会死进行判断。不幸的是，你只有 minutesToTest 分钟时间来确定哪桶液体是有毒的。

喂猪的规则如下：

1. 选择若干活猪进行喂养
2. 可以允许小猪同时饮用任意数量的桶中的水，并且该过程不需要时间。
3. 小猪喝完水后，必须有 minutesToDie 分钟的冷却时间。在这段时间里，你只能观察，而不允许继续喂猪。
4. 过了 minutesToDie 分钟后，所有喝到毒药的猪都会死去，其他所有猪都会活下来。
5. 重复这一过程，直到时间用完。

给你桶的数目 buckets ，minutesToDie 和 minutesToTest ，返回 在规定时间内判断哪个桶有毒所需的 最小 猪数 。

 

示例 1：

输入：buckets = 1000, minutesToDie = 15, minutesToTest = 60
输出：5

示例 2：

输入：buckets = 4, minutesToDie = 15, minutesToTest = 15
输出：2

示例 3：

输入：buckets = 4, minutesToDie = 15, minutesToTest = 30
输出：2

 

提示：

• 1 <= buckets <= 1000
• 1 <= minutesToDie <= minutesToTest <= 100

 

二、解题思路

        题目描述了一种通过猪测试毒药桶的方法。给定 `buckets` 桶液体，其中一桶含有毒药，其余是水。通过喂猪喝这些桶中的水，观察猪是否死亡，可以在有限的时间内确定哪一桶是有毒的。目标是找到在规定时间内确定毒药桶所需的最小猪数。题目可以使用动态规划解决，但我们现在另辟蹊径。

（1）数学规律
状态数：每只猪在测试过程中可以处于多种状态。例如，如果测试时间为 `minutesToTest`，猪的死亡时间为 `minutesToDie`，那么每只猪最多可以进行 `T = minutesToTest / minutesToDie` 次测试。
信息量：每只猪的生死状态可以看作是一个信息源。如果每只猪有 `states = T + 1` 种状态（包括未死亡的状态），那么 `n` 只猪可以表示 `states^n` 种不同的信息。
最小猪数：为了覆盖所有桶，需要满足 `states^pigs >= buckets`。因此，猪的最小数量可以通过对数计算得出。

（2）公式推导
状态数：states = minutesToTest / minutesToDie + 1。
最小猪数：pigs = ceil(log(buckets) / log(states))。

 

三、代码实现

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>

class Solution {
public:
    int poorPigs(int buckets, int minutesToDie, int minutesToTest) {
        // 计算每只猪的状态数
        int states = minutesToTest / minutesToDie + 1;
        // 计算所需的最小猪数
        int pigs = ceil(log(buckets) / log(states) - 1e-5);
        return pigs;
    }
};

int main() {
    Solution solution;
    
    // 测试案例
    int buckets = 1000; // 水桶数量
    int minutesToDie = 15; // 喝下毒水后的间隔冷却时间
    int minutesToTest = 60; // 总的测试时间

    // 调用 poorPigs 方法并打印结果
    int result = solution.poorPigs(buckets, minutesToDie, minutesToTest);
    std::cout << "Required number of pigs: " << result << std::endl;

    return 0;
}

 

复杂度分析

 

- **时间复杂度**：`O(1)`，仅进行常数次数学计算。
- **空间复杂度**：`O(1)`，仅使用常数空间。

 

        通过数学规律和信息论的思想，我们可以高效地解决这个问题。关键在于理解每只猪的状态数和信息量，并通过对数计算确定最小猪数。这种方法不仅简洁高效，而且适用于大规模问题。