OTSU算法学习 OTSU公式证明_otsu算法公式-优快云博客

OTSU算法学习 OTSU公式证明

1 otsu的公式如下,如果当前阈值为t,

w0 前景点所占比例

w1 = 1- w0 背景点所占比例

u0 = 前景灰度均值

u1 = 背景灰度均值

u = w0*u0 + w1*u1 全局灰度均值

g = w0(u0-u)*(u0-u) + w1(u1-u)*(u1-u) = w0*(1 – w0)*(u0 - u1)* (u0 - u1)

目标函数为g, g越大,t就是越好的阈值.为什么采用这个函数作为判别依据,直观是这个函数反映了前景和背景的差值.

差值越大,阈值越好.

下面是一段证明g的推导的matlab代码

syms w0 u0 u1 %w0 前景均值 u0 前景灰度均值 u1 背景灰度均值

%背景均值

w1 = 1 - w0;

%全局灰度均值

u=w0*u0+w1*u1;

%目标函数

g=w0*(u0-u)*(u0-u)+w1*(u1-u)*(u1-u);

%化简的形式

g1 =w0*w1*(u0-u1)*(u0-u1);

%因式展开

a1 = expand(g) %结果是 - u0^2*w0^2 + u0^2*w0 + 2*u0*u1*w0^2 - 2*u0*u1*w0 - u1^2*w0^2 + u1^2*w0

a2 = expand(g) %结果是 - u0^2*w0^2 + u0^2*w0 + 2*u0*u1*w0^2 - 2*u0*u1*w0 - u1^2*w0^2 + u1^2*w0

%对g进行因式分解

a2 = factor(g) %结果 -w0*(u0 - u1)^2*(w0 - 1)

这里是matlab初等代数运算的讲解 http://wenku.baidu.com/link?url=SODqdtPjbNLhKPEvCjsHkOhMi9LMb34qIrnp9_QRBKUNqPLGLxRCuLJgL2sp1vhLk55b6hpp242-RTCVp6ma_7a7-0imT3WVyBcsTmQ-5HS

2 关于最大类间方差法（otsu）的性能:

类间方差法对噪音和目标大小十分敏感，它仅对类间方差为单峰的图像产生较好的分割效果。

当目标与背景的大小比例悬殊时，类间方差准则函数可能呈现双峰或多峰，此时效果不好，但是类间方差法是用时最少的。

3 代码实现

public int GetThreshValue(Bitmap image)

{

BitmapData bd = image.LockBits(new Rectangle(0, 0, image.Width,image.Height), ImageLockMode.WriteOnly, image.PixelFormat);

byte* pt = (byte*)bd.Scan0;

int[] pixelNum = new int[256]; //图象直方图，共256个点

byte color;

byte* pline;

int n, n1, n2;

int total; //total为总和，累计值

double m1, m2, sum, csum, fmax, sb; //sb为类间方差，fmax存储最大方差值

int k, t, q;

int threshValue = 1; // 阈值

int step = 1;

switch (image.PixelFormat)

{

case PixelFormat.Format24bppRgb:

step = 3;

break;

case PixelFormat.Format32bppArgb:

step = 4;

break;

case PixelFormat.Format8bppIndexed:

step = 1;

break;

}

//生成直方图

for (int i = 0; i < image.Height; i++)

{

pline = pt + i * bd.Stride;

for (int j = 0; j < image.Width; j++)

{

color = *(pline + j * step); //返回各个点的颜色，以RGB表示

pixelNum[color]++; //相应的直方图加1

}

//直方图平滑化

for (k = 0; k <= 255; k++)

{

total = 0;

for (t = -2; t <= 2; t++) //与附近2个灰度做平滑化，t值应取较小的值

{

q = k + t;

if (q < 0) //越界处理

q = 0;

if (q > 255)

q = 255;

total = total + pixelNum[q]; //total为总和，累计值

}

//平滑化，左边2个+中间1个+右边2个灰度，共5个，所以总和除以5，后面加0.5是用修正值

pixelNum[k] = (int)((float)total / 5.0 + 0.5);

}

//求阈值

sum = csum = 0.0;

n = 0;

//计算总的图象的点数和质量矩，为后面的计算做准备

for (k = 0; k <= 255; k++)

{

//x*f(x)质量矩，也就是每个灰度的值乘以其点数（归一化后为概率），sum为其总和

sum += (double)k * (double)pixelNum[k];

n += pixelNum[k]; //n为图象总的点数，归一化后就是累积概率

}

fmax = -1.0; //类间方差sb不可能为负，所以fmax初始值为-1不影响计算的进行

n1 = 0;

for (k = 0; k < 255; k++) //对每个灰度（从0到255）计算一次分割后的类间方差sb

{

n1 += pixelNum[k]; //n1为在当前阈值遍前景图象的点数

if (n1 == 0) { continue; } //没有分出前景后景

n2 = n - n1; //n2为背景图象的点数

//n2为0表示全部都是后景图象，与n1=0情况类似，之后的遍历不可能使前景点数增加，所以此时可以退出循环

if (n2 == 0) { break; }

csum += (double)k * pixelNum[k]; //前景的“灰度的值*其点数”的总和

m1 = csum / n1; //m1为前景的平均灰度

m2 = (sum - csum) / n2; //m2为背景的平均灰度

sb = (double)n1 * (double)n2 * (m1 - m2) * (m1 - m2); //sb为类间方差

if (sb > fmax) //如果算出的类间方差大于前一次算出的类间方差

{

fmax = sb; //fmax始终为最大类间方差（otsu）

threshValue = k; //取最大类间方差时对应的灰度的k就是最佳阈值

}

image.UnlockBits(bd);

image.Dispose();

return threshValue;

}

参考了这篇文章 http://baike.baidu.com/link?url=ZgwdvFvH-oZhpE3panvp9kv0p7dn7KSnpc87v-AIBg5najnR4cVmIXwP_A_4nry7USDUZUuEYa-c5P09XOYoIa

4 二维otsu算法

下图是二维otsu的立体图.

这是对应的matlab代码

%统计二维直方图 i 当前点的亮度 j n*n邻域均值亮度

function hist2 = hist2Function(image, n)

%初始化255*2565矩阵

hist2 = zeros(255,255);

[height, width] = size(image);

for i = 1:height

for j = 1:width

data = image(i,j);

tempSum = 0.0;

for l = -n:1:n

for m = -n:1:n

x = i + l;

y = j+m;

if x < 1

x = 1;

elseif x > width

x = width;

end

if y < 1

y = 1;

elseif y > height

y = height;

end

tempSum = tempSum + double(image(y,x));

end

tempSum = tempSum / ((2*n+1)*(2*n+1));

hist2(data,floor(tempSum)) = hist2(data,floor(tempSum)) + 1;

end

%加载图像

imagea = imread('a.bmp');

%显示图像

%imshow(imagea);

%显示直方图

%figure;imhist(imagea);

%计算二维直方图

hist2 = hist2Function(imagea, 2);

%显示二维直方图

[x,y]=meshgrid(1:1:255);

mesh(x,y,hist2)

<灰度图象的二维Otsu自动阈值分割法.pdf> 这篇文章讲解的不错.文章这里有下载http://download.youkuaiyun.com/detail/wisdomfriend/9046341

下面用数学语言表达一下

i :表示亮度的维度

j : 表示点区域均值的维度

w0: 表示在阈值(s,t)时所占的比例

w1: 表示在阈值(s,t)时, 所占的比例

u0(u0i, u0j): 表示在阈值(s,t)时时的均值.u0时2维的

u1(u1i, u1j): 表示在阈值(s,t)时的均值.u1时2维的

uT: 全局均值

和一维otsut函数类似的目标函数

sb = w0(u0-uT)*(u0-uT)’ + w1(u1-uT)*(u1-uT)’

= w0[(u0i-uTi)* (u0i-uTi) + (u0j-uTj)* (u0j-uTj)] + w1[(u1i-uTi)* (u1i-uTi) + (u1j-uTj)* (u1j-uTj)]

这里是代码实现.出自这篇文章: http://blog.youkuaiyun.com/yao_wust/article/details/23531031

int histogram[256][256];

double p_histogram[256][256];

double Pst_0[256][256];//Pst_0用来存储概率分布情况

double Xst_0[256][256];//存储x方向上的均值矢量

int OTSU2d(IplImage * src)

{

int height = src->height;

int width = src->width;

long pixel = height * width;

int i,j;

for (i = 0;i < 256;i++)//初始化直方图

{

for (j = 0; j < 256;j++)

histogram[i][j] = 0;

}

IplImage * temp = cvCreateImage(cvGetSize(src),8,1);

cvSmooth(src,temp,CV_BLUR,3,0);

for (i = 0;i < height;i++)//计算直方图

{

for (j = 0; j < width;j++)

{

int data1 = cvGetReal2D(src,i,j);

int data2 = cvGetReal2D(temp,i,j);

histogram[data1][data2]++;

}

for (i = 0; i < 256;i++)//直方图归一化

for(j = 0; j < 256;j++)

p_histogram[i][j] = (histogram[i][j]*1.0)/(pixel*1.0);

Pst_0[0][0] = p_histogram[0][0];

for(i = 0;i < 256;i++)//计算概率分布情况

for(j = 0;j < 256;j++)

{

double temp = 0.0;

if(i-1 >= 0)

temp = temp + Pst_0[i-1][j];

if(j-1 >= 0)

temp = temp + Pst_0[i][j-1];

if(i-1 >= 0 && j-1 >= 0)

temp = temp - Pst_0[i-1][j-1];

temp = temp + p_histogram[i][j];

Pst_0[i][j] = temp;

}

Xst_0[0][0] = 0 * Pst_0[0][0];

for(i = 0 ; i < 256;i++)//计算x方向上的均值矢量

for(j = 0 ; j < 256;j++)

{

double temp = 0.0;

if(i-1 >= 0)

temp = temp + Xst_0[i-1][j];

if(j-1 >= 0)

temp = temp + Xst_0[i][j-1];

if(i-1 >= 0 && j-1 >= 0)

temp = temp - Xst_0[i-1][j-1];

temp = temp + i * p_histogram[i][j];

Xst_0[i][j] = temp;

}

double Yst_0[256][256];//存储y方向上的均值矢量

Yst_0[0][0] = 0 * Pst_0[0][0];

for(i = 0 ; i < 256;i++)//计算y方向上的均值矢量

for(j = 0 ; j < 256;j++)

{

double temp = 0.0;

if(i-1 >= 0)

temp = temp + Yst_0[i-1][j];

if(j-1 >= 0)

temp = temp + Yst_0[i][j-1];

if(i-1 >= 0 && j-1 >= 0)

temp = temp - Yst_0[i-1][j-1];

temp = temp + j * p_histogram[i][j];

Yst_0[i][j] = temp;

}

int threshold1;

int threshold2;

double variance = 0.0;

double maxvariance = 0.0;

for(i = 0;i < 256;i++)//计算类间离散测度

for(j = 0;j < 256;j++)

{

long double p0 = Pst_0[i][j];

long double v0 = pow(((Xst_0[i][j]/p0)-Xst_0[255][255]),2) + pow(((Yst_0[i][j]/p0)-Yst_0[255][255]),2);

long double p1 = Pst_0[255][255]-Pst_0[255][j]-Pst_0[i][255]+Pst_0[i][j];

long double vi = Xst_0[255][255]-Xst_0[255][j]-Xst_0[i][255]+Xst_0[i][j];

long double vj = Yst_0[255][255]-Yst_0[255][j]-Yst_0[i][255]+Yst_0[i][j];

long double v1 = pow(((vi/p1)-Xst_0[255][255]),2)+pow(((vj/p1)-Yst_0[255][255]),2);

variance = p0*v0+p1*v1;

if(variance > maxvariance)

{

maxvariance = variance;

threshold1 = i;

threshold2 = j;

}

//printf("%d %d",threshold1,threshold2);

return (threshold1+threshold2)/2;

}

总结: 二维otsu算法得到一个阈值,然后对图像做二值化.仍然不能解决光照不均匀二值化的问题.下图是对右边的A进行二维直方图统计得到的图像, 遍历区域为5*5.

比一维otsu效果好一些,但不是很明显.