【空间代谢】深入解析`scikit-learn`库中支持向量机（SVM）模型的原理

scikit - learn库中的支持向量机（SVM）是一种强大且广泛应用的机器学习模型，可用于分类和回归任务。下面详细介绍其原理，包括基本概念、线性可分情况、非线性情况以及核技巧等方面。

基本概念

支持向量机的核心目标是在特征空间中找到一个最优的超平面，使得不同类别的样本能够被尽可能准确地分开，并且这个超平面到各类别样本的间隔最大。这个间隔被称为“边际”，具有最大边际的超平面被认为是最优的决策边界，因为它能够在未知数据上具有较好的泛化能力。

线性可分情况

硬间隔 SVM

假设我们有一个二分类问题，训练数据集 $D=\{({\mathbf{x}}_1,y_1),({\mathbf{x}}_2,y_2),\cdots ,({\mathbf{x}}_n,y_n)\}$，其中 ${\mathbf{x}}_i\in {\mathbb{R}}^d$ 是第 $i$ 个样本的特征向量， y i ∈ { − 1 , + 1 } y_i \in \{-1, +1\} yi​∈{−1,+1} 是对应的类别标签。如果存在一个超平面 $w^T\mathbf{x}+b=0$ 能够将正类和负类样本完全分开，即对于所有正类样本 ${\mathbf{x}}_i$ 有 $w^T{\mathbf{x}}_i+b>0$，对于所有负类样本 ${\mathbf{x}}_j$ 有 $w^T{\mathbf{x}}_j+b<0$，则称数据集是线性可分的。

硬间隔 SVM 的目标是找到一个超平面 $w^T\mathbf{x}+b=0$，使得它到最近样本点的距离（边际）最大。这个问题可以转化为一个约束优化问题：

目标函数：
$$\underset{w,b}{\min }\frac{1}{2}\Vert w{\Vert }^2$$

约束条件：
$$y_i(w^T{\mathbf{x}}_i+b)\ge 1,i=1,2,\cdots ,n$$

通过求解这个优化问题，可以得到最优的 $w$ 和 $b$，从而确定最优超平面。在求解过程中，那些使得约束条件 $y_i(w^T{\mathbf{x}}_i+b)=1$ 成立的样本点被称为“支持向量”，它们决定了最优超平面的位置和方向。

软间隔 SVM

在实际应用中，大多数数据集并不是完全线性可分的，可能存在一些噪声或异常点。为了处理这种情况，引入了软间隔 SVM。软间隔 SVM 允许一些样本点违反间隔约束，通过引入松弛变量 ${\xi }_i\ge 0$ 来衡量样本点违反约束的程度。

目标函数：
$$\underset{w,b,\xi }{\min }\frac{1}{2}\Vert w{\Vert }^2+C\sum _{i=1}^n{\xi }_i$$

约束条件：
$$y_i(w^T{\mathbf{x}}_i+b)\ge 1-{\xi }_i,{\xi }_i\ge 0,i=1,2,\cdots ,n$$

其中 $C>0$ 是一个惩罚参数，用于控制对违反间隔约束的样本点的惩罚程度。$C$ 值越大，对违反约束的惩罚越严重，模型会尽量减少违反约束的样本点；$C$ 值越小，对违反约束的容忍度越高，模型更注重最大化边际。

非线性情况与核技巧

当数据集是非线性可分的时候，在原始特征空间中找不到一个线性超平面来分开不同类别的样本。此时，可以通过一个非线性映射 $\varphi (\cdot )$ 将原始特征空间 ${\mathbb{R}}^d$ 映射到一个更高维的特征空间 $\mathbb{F}$，使得数据在新的特征空间中变得线性可分。

然而，直接计算 $\varphi (\mathbf{x})$ 可能会导致计算复杂度非常高，甚至不可行。为了解决这个问题，引入了核技巧。核函数 $K({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)$ 定义为：
$$K({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)=\varphi ({\mathbf{x}}_i{)}^T\varphi ({\mathbf{x}}_j)$$

通过核函数，我们可以在原始特征空间中计算样本点在高维特征空间中的内积，而不需要显式地计算 $\varphi (\mathbf{x})$。常见的核函数有：

• 线性核函数：$K({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)={\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_j$
• 多项式核函数：$K({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)=(\gamma {\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_j+r{)}^d$，其中 $\gamma >0$，$r$ 是偏移量，$d$ 是多项式的次数。
• 径向基核函数（RBF）：$K({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)=\exp (-\gamma \Vert {\mathbf{x}}_i-{\mathbf{x}}_j{\Vert }^2)$，其中 $\gamma >0$。
• Sigmoid 核函数：$K({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)=\tanh (\gamma {\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_j+r)$，其中 $\gamma >0$，$r$ 是偏移量。

在使用核函数时，软间隔 SVM 的优化问题可以改写为：

目标函数：
$$\underset{\alpha }{\min }\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_{j}K({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i$$

约束条件：
$$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0,0\le {\alpha }_i\le C,i=1,2,\cdots ,n$$

求解上述优化问题得到最优的拉格朗日乘子 ${\alpha }^{\ast }$ 后，决策函数可以表示为：
$$f(\mathbf{x})=\text{sign}\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^{\ast }{y}_{i}K({\mathbf{x}}_i,\mathbf{x})+b^{\ast }\right)$$

scikit - learn 中的实现

在 scikit - learn 库中，支持向量机模型主要通过 SVC（用于分类）和 SVR（用于回归）类来实现。以下是一个简单的二分类示例：

from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.metrics import accuracy_score

# 加载数据集
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data[:, :2]  # 只取前两个特征
y = iris.target
y = (y == 0).astype(int)  # 二分类问题

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

# 创建 SVM 分类器
svm = SVC(kernel='linear', C=1.0)

# 训练模型
svm.fit(X_train, y_train)

# 预测
y_pred = svm.predict(X_test)

# 计算准确率
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f"模型准确率: {accuracy}")

在这个示例中，我们使用线性核函数和惩罚参数 $C=1.0$ 来训练 SVM 分类器，并在测试集上评估其性能。

综上所述，scikit - learn 中的 SVM 模型基于最优超平面和核技巧的原理，通过求解约束优化问题来找到最优的决策边界，能够有效地处理线性和非线性分类与回归问题。