hdu 5389 Zero Escape (dp)

hdu 5389 Zero Escape (dp)

tags： acm

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今年多校的一道题,又一次发现题解并不能看懂…之前做的时候想了好久,找到数根的特性之后发现可以推出来,然后就上了,一发AC.然而做完发现中间的值和手动推出来不一致(尽管结果正确),和队友推了好久,发现我初始值设置有问题,认为存在数根为0的输入,而题目给的数都是大于0的,修改后还是AC.还是不明白为什么之前的那个能A,可能是数据太水了?也或许里面另有原因?反正我是推不出来了╰(￣▽￣)╭

题意:

给你N个数$d_{i}$,以及A,B两个数( $1\leq A,B,d_{i}\leq 9$ ),并告诉你数根的求法,问存在多少种情况使得下列两种情况之一满足:

• 所有的数的和的数根等于A或B
• 一部分数的和的数根等于A而剩下数的和的数根等于B.

解析:

首先看数根的性质,定义dr(x)为x的数根,则有(只列出有用到的,更详细的性质可以参考维基百科):

• $$dr(a + b) \equiv dr(a) + dr(b) \pmod{9}$$
• $$dr(n) = \begin{cases} 0 & if\ n = 0, \\ 9 & if\ n \neq 0,n \equiv 0 \pmod 9,\\ n\mod 9 & if\ n\not\equiv 0 \pmod 9. \end{cases}$$

由第一条可得出

$$dr(\sum_{i=1}^{k} d_{i}) = dr(\sum_{i=1}^{k-1} d_{i}) + dr(d_{k}) \pmod 9$$

即,在统计选法时满足

• 对于每种数根为k的情况,我们都可以通过加上一个di来构造出对应的数根为dr(k+di)的选法

若用cnt[i][k]储存从前i个数中和的数根为k的选法数.当长度i增加为i+1时,增加的选法都是由长度为i的选法加上di构造出来.因此只要遵循下面这个流程就能推出答案:

//原有的选法都是可行的
for (int j = 0; j <= 9; j++)
{
    cnt[i][j] = cnt[i - 1][j];
}
//再加上新增的选法
for (int j = 1; j <= 9; j++)
{
    cnt[i][dr(j + d[i])] += cnt[i - 1][j];     //数根为j的选法和di相加能构造出数根为dr(j+d[i])的选法
}

特殊的,当长度为1时,只有数根为$d_{1}$一种选法

代码:

374ms

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

#define MAXN    100000+100

const long long mod = 258280327;
int arr[MAXN];
long long cnt[MAXN][10];

int f(long long x)
{
    if (x == 0)
        return 0;
    else if (x % 9 == 0)
        return 9;
    else
        return x % 9;
}

int main()
{
    int T;
    int N,A,B;
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d%d%d", &N, &A, &B);
        long long sum = 0;
        for (int i = 0; i < N; i++)
        {
            scanf("%d", &arr[i]);
            sum += arr[i];
        }
        //memset(cnt,0,sizeof (cnt));
        for (int i = 0; i < N; i++)
        {
            if (i == 0)
            {
                for (int j = 0; j <= 9; j++)
                    cnt[i][j] = 0;
                cnt[0][arr[0]] = 1;
                //cnt[0][0] = 1;
            }
            else
            {
                for (int j = 1; j <= 9; j++)
                {
                    cnt[i][j] = cnt[i - 1][j];
                }
                for (int j = 1; j <= 9; j++)
                {
                    cnt[i][f(j + arr[i])] += cnt[i - 1][j];
                    cnt[i][f(j + arr[i])] %= mod;
                }
            }
        }
        int fs = f(sum);
        //if (fs == f(A + B))
        {
            long long ans = 0;
            ans += cnt[N - 1][A];
            ans %= mod;
            ans += cnt[N - 1][B];
            ans %= mod;
            printf("%lld\n",ans);
        }

    }
    return 0;
}