称球问题——经典智力题推而广之五

五、四十个球的例子

　　最后我们来解决一下40个球，没有标准球的问题。我们知道
　　40 = (3⁴-1)/2
所以我们可以称4次找出坏球，但是因为没有标准球，就不一定能知道坏球的轻重。

　　顺便先考虑13个球，另有一标准球的问题。
　　 13 = (3³-1)/2
所以称3次可以找出坏球，因为有标准球，我们还可以同时知道坏球的轻重。

　　根据上一节的证明过程，这时我们要把这13个球分为3堆：
　　第一堆：1-5
　　第二堆：6-9，再加上标准球s
　　第三堆：10-13
我们把第一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。

　　如果是左边重，那么要么是第一堆1-5号球中有一个是坏球，而且它比标准球重，要么是第二堆6-9号球中有一个是坏球，那么它比标准球轻。用结论1来解决的问题，第三节末尾我们处理过27个球的问题，9个球的问题就是小菜了：

                           |--右--( 4重)
             |--右--(3 ; 4)|--平--( 6轻)
             |             |--左--( 3重)
             |
             |             |--右--( 8轻)
(1-2,6;3-4,7)|--平--(8 ; 9)|--平--( 5重)
             |             |--左--( 9轻)
             |
             |             |--右--( 2重)
             |--左--(1 ; 2)|--平--( 7轻)
                           |--左--( 1重)


　　如果是右边重，那么和上面的情况对称，只要把策略树中的“左”和“右”互换，“轻”和“重”互换即可。

　　如果平衡，那么就化为4个球（10-13号）有一个标准球2次称出的问题。虽然还可以往下照葫芦画瓢地递归一次，不过4个球的情况就太简单了，所以直接写出策略树：

                          |--右--(10轻)
            |--右--(10;11)|--平--(12重)
            |             |--左--(11轻)
            |
            |             |--右--(13轻)
(10,11;12,s)|--平--(13; s)|--平--(    )
            |             |--左--(13重)
            |
            |             |--右--(11重)
            |--左--(10;11)|--平--(12轻)
                          |--左--(10重)


　　把左中右三个分支拼起来我们就得到13个球有一标准球称3次的策略树：

                                   |--右--( 1轻)
                     |--右--(1 ; 2)|--平--( 7重)
                     |             |--左--( 2轻)
                     |
                     |             |--右--( 9重)
       |--右--(1-2,6;|--平--(8 ; 9)|--平--( 5轻)
       |       3-4,7)|             |--左--( 8重)
       |             |
       |             |             |--右--( 3轻)
       |             |--左--(3 ; 4)|--平--( 6重)
       |                           |--左--( 4轻)
       |
       |                           |--右--(10轻)
       |             |--右--(10;11)|--平--(12重)
       |             |             |--左--(11轻)
       |             |
       |             |             |--右--(13轻)
(1-5;  |--平--(10,11;|--平--(13; s)|--平--(    )
6-9,s)|        12,s)|             |--左--(13重)
       |             |
       |             |             |--右--(11重)
       |             |--左--(10;11)|--平--(12轻)
       |                           |--左--(10重)
       |
       |                           |--右--( 4重)
       |             |--右--(3 ; 4)|--平--( 6轻)
       |             |             |--左--( 3重)
       |             |
       |             |             |--右--( 8轻)
       |--左--(1-2,6;|--平--(8 ; 9)|--平--( 5重)
               3-4,7)|             |--左--( 9轻)
                     |
                     |             |--右--( 2重)
                     |--左--(1 ; 2)|--平--( 7轻)
                                   |--左--( 1重)

　　现在可以考虑40个球，无标准球的问题了。根据上一节的证明过程，我们首先拿掉第40号球，使之变为39个球的问题。然后我们把这39个球分为3堆：
　　第一堆：1-13
　　第二堆：14-26
　　第三堆：27-39
把第一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。

　　如果是右边重，那么要么是第一堆1-14号球中有一个是坏球，而且它比标准球重，要么是第二堆15-27号球中有一个是坏球，那么它比标准球轻。这恰好是第三节末尾我们解决过的例子！这个策略树分支我们可以完全拷贝过来。

　　如果是左边重，那么和上面的情况对称，只要把策略树中的“左”和“右”互换，“轻”和“重”互换即可。

　　如果平衡，那么问题转化为本节开始的13个球，有一标准球的问题（可取1号球为标准球），上面的策略树也可拷贝过来，只是要把原来的1-13号球和这里的27-39号球一一对应（只要把所有的号码加26即可）。

　　把左中右三个策略分支合并起来，并考虑到如果所有称量结果都是平衡的话，则第40号球为坏球的结论。我们就得到了下面的关于称40个球的巨无霸策略树，它有81片叶子：

                                                |--右--( 1轻)
                                  |--右--(1 ; 2)|--平--( 3轻)
                                  |             |--左--( 2轻)
                                  |
                                  |             |--右--(18重)
                    |--右--(1-3;  |--平--(17;18)|--平--( 7轻)
                    |         4-6)|             |--左--(17重)
                    |             |
                    |             |             |--右--( 4轻)
                    |             |--左--(4 ; 5)|--平--( 6轻)
                    |                           |--左--( 5轻)
                    |
                    |                           |--右--(23重)
                    |             |--右--(22;23)|--平--(24重)
                    |             |             |--左--(22重)
                    |             |
                    |             |             |--右--(26重)
      |--右--(1-7,  |--平--(19-21;|--平--(25;26)|--平--(27重)
      |       15-16;|       22-24)|             |--左--(25重)
      |        8-14,|             |
      |       17-18)|             |             |--右--(20重)
      |             |             |--左--(19;20)|--平--(21重)
      |             |                           |--左--(19重)
      |             |
      |             |                           |--右--( 8轻)
      |             |             |--右--(8 ; 9)|--平--(10轻)
      |             |             |             |--左--( 9轻)
      |             |             |
      |             |             |             |--右--(16重)
      |             |--左--(8-10; |--平--(15;16)|--平--(14轻)
      |                     11-13)|             |--左--(15重)
      |                           |
      |                           |             |--右--(11轻)
      |                           |--左--(11;12)|--平--(13轻)
      |                                         |--左--(12轻)
      |
      |                                         |--右--(27轻)
      |                           |--右--(27;28)|--平--(33重)
      |                           |             |--左--(28轻)
      |                           |
      |                           |             |--右--(35重)
      |             |--右--(27-28,|--平--(34;35)|--平--(31轻)
      |             |          32;|             |--左--(34重)
      |             |       29-30,|
      |             |          33)|             |--右--(29轻)
      |             |             |--左--(29;30)|--平--(32重)
      |             |                           |--左--(30轻)
      |             |
      |             |                           |--右--(36轻)
      |             |             |--右--(36;37)|--平--(38重)
      |             |             |             |--左--(37轻)
      |             |             |
      |             |             |             |--右--(39轻)
(1-13;|--平--(27-31;|--平--(36,37;|--平--(39; 1)|--平--(40坏)
14-26)|     32-35,1)|        38,1)|             |--左--(39重)
      |             |             |
      |             |             |             |--右--(37重)
      |             |             |--左--(36;37)|--平--(38轻)
      |             |                           |--左--(36重)
      |             |
      |             |                           |--右--(30重)
      |             |             |--右--(29;30)|--平--(32轻)
      |             |             |             |--左--(29重)
      |             |             |
      |             |             |             |--右--(34轻)
      |             |--左--(27-28,|--平--(34;35)|--平--(31重)
      |                        32;|             |--左--(35轻)
      |                     29-30,|
      |                        33)|             |--右--(28重)
      |                           |--左--(27;28)|--平--(33轻)
      |                                         |--左--(27重)
      |
      |                                         |--右--(12重)
      |                           |--右--(11;12)|--平--(13重)
      |                           |             |--左--(11重)
      |                           |
      |                           |             |--右--(15轻)
      |             |--右--(8-10; |--平--(15;16)|--平--(14重)
      |             |       11-13)|             |--左--(16轻)
      |             |             |
      |             |             |             |--右--( 9重)
      |             |             |--左--(8 ; 9)|--平--(10重)
      |             |                           |--左--( 8重)
      |             |
      |             |                           |--右--(19轻)
      |             |             |--右--(19;20)|--平--(21轻)
      |             |             |             |--左--(20轻)
      |             |             |
      |             |             |             |--右--(25轻)
      |--左--(1-7,  |--平--(19-21;|--平--(25;26)|--平--(27轻)
              15-16;|       22-24)|             |--左--(26轻)
              8-14, |             |
              17-18)|             |             |--右--(22轻)
                    |             |--左--(22;23)|--平--(24轻)
                    |                           |--左--(23轻)
                    |
                    |                           |--右--( 5重)
                    |             |--右--(4 ; 5)|--平--( 6重)
                    |             |             |--左--( 4重)
                    |             |
                    |             |             |--右--(17轻)
                    |--左--(1-3;  |--平--(17;18)|--平--( 7重)
                              4-6)|             |--左--(18轻)
                                  |
                                  |             |--右--( 2重)
                                  |--左--(1 ; 2)|--平--( 3重)
                                                |--左--( 1重)