控制科学基本原理与应用
建模方法
环节
- 线性环节
- 一阶惯性环节
- 二阶惯性环节
物理系统的数学建模
根据物理公式联立得出输入量与输出量的关系式
在某些非线性系统中需要使用增量式
系统框图（传递函数）简化
根据系统框图简化出等效传递函数有两种方法：
- 框图变换：通过变换简化框图，求出传递函数
- 信号流图简化
框图变换规则
- 加减节点可前后调换
- 同一网络的输出顺序可前后调换
- 加减节点、分支节点跨过传递函数框图时需相应乘除
G
(
s
)
G(s)
G(s)
信号流图求传递函数——梅森Mason增益公式
将框图转换为信号流图，直接给出信号流图则无需变换
P
k
P_{k}
Pk: 所有前向通道的增益
Δ
=
1
−
∑
α
L
α
+
∑
α
、
β
L
α
L
β
−
.
.
.
\Delta=1-\sum_{\alpha}L_\alpha+\sum_{\alpha、\beta}L_\alpha L_\beta-...
Δ=1−∑αLα+∑α、βLαLβ−...
所有单个的环路增益和不相邻的多个环路增益乘积之和
Δ
k
\Delta_{k}
Δk将前向通道去掉，看剩下的流程图中有无回路增益，计算方法同
Δ
\Delta
Δ
时域分析系统特性
经典输入信号：
阶跃信号、脉冲信号、阶梯信号（斜坡信号）、加速度信号、正弦信号
- step signal：
r ( t ) = { A ， t > = 0 0 ， t < 0 r(t)= \begin{align}\left\{\begin{aligned} A， t>=0 \\ 0， t<0\ \ \ \end{aligned}\right.\end{align} r(t)={A，t>=00，t<0 - pulse signal:
r ( t ) = A δ ( t ) r(t)=A\delta (t) r(t)=Aδ(t) - ramp signal：
r ( t ) = A t ， t > = 0 r(t)=At， t>=0 r(t)=At，t>=0
控制系统性能指标：
单位阶跃响应曲线：
- 峰值时间 t p t_{p} tp：用于刻画系统的灵敏性
- 最大偏差 A A A： 受控输出的第一个波的峰值与给定值之间的差值，例如图中的 A
- 超调量
σ
%
\sigma \%
σ%：
σ
%
=
y
(
t
p
−
y
(
∞
)
)
y
(
∞
)
×
100
%
\sigma \%= \frac{y(t_{p}-y(\infty))}{y(\infty)} \times 100\%
σ%=y(∞)y(tp−y(∞))×100%
- 衰减比
n
n
n:
n
=
A
A
′
n=\frac{A}{A'}
n=A′A，通常在4~10之间。
n 越大，瞬态过程衰减得越快，相反，n 越小，瞬态过程的衰减越小
当 n=1 时，瞬态过程等于连续振荡。 - 调节时间 t s t_{s} ts：信号与期望值相等的时间。理论上，这需要很长时间。在工程设计中，输入新的稳态值所需的时间通常在受控变量误差的 ±5% 或 ±2% 范围内，并且不再超过。
- 稳态误差 e ( ∞ ) e(\infty) e(∞)：稳态误差 e（∞） 1 当时间趋于无穷大时，设定值与系统输出稳态之间的差值，e（∞） = r（∞） − y（∞）。2 瞬态过程结束时的稳态值和设定值之间的差异是控制系统精度的重要性能指标。3 稳态误差用于测量系统的静态性能。
一阶惯性环节/一阶线性定长系统
-
一阶惯性环节的阶跃响应
-
一阶惯性系统的斜坡信号响应
-
一阶惯性系统的脉冲响应
输入时脉冲信号，通过输出信号的拉氏反变换可以得到传递函数。
对于含 e − t T e^{-\frac{t}{T}} e−Tt项的
对于一阶线性定长系统，输入函数的积分、微分之后等于输出函数的积分、微分 -
一阶惯性系统的两个参数：K、T
K：收敛值
T：计算收敛值63.2%对应的时间T
二阶惯性环节/二阶线性定长系统
一阶系统时单调的，因为其极点为
−
1
T
-\frac{1}{T}
−T1为实数，所以是单调的
二阶系统的极点有虚数，所以输出会产生振荡
二阶系统标准形式：没有零点、分子为常值与分母常值相等、分母二次项系数为1
求得二阶系统标准形式特征根：
阻尼比 ζ \zeta ζ：当 0 < ζ < 1 0<\zeta<1 0<ζ<1时为欠阻尼， ζ = 1 \zeta=1 ζ=1为临界阻尼， ζ > 1 \zeta>1 ζ>1为过阻尼， ζ = 0 \zeta=0 ζ=0为无阻尼。日常情况下不会出现负阻尼的系统。
无阻尼自然频率
ω
n
\omega_{n}
ωn：
欠阻尼系统分析
θ
\theta
θ为阻尼角，
cos
θ
=
ζ
\cos \theta=\zeta
cosθ=ζ
无阻尼自然频率
ω
n
\omega_{n}
ωn：的实部
ζ
ω
n
\zeta \omega_{n}
ζωn，决定了信号的衰减速度（收敛速度）。
ω
n
\omega_{n}
ωn对应
ζ
=
0
\zeta=0
ζ=0即无阻尼时的振荡频率
有阻尼自然频率
ω
d
\omega_{d}
ωd: ，为
ω
n
\omega_{n}
ωn的虚部，即
1
−
ζ
2
ω
n
\sqrt{1-\zeta^2} \omega_{n}
1−ζ2ωn，决定了欠阻尼系统的振荡频率
欠阻尼系统单位阶跃响应：
!](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/978a618619d148cdaae982a73ef7cfca.png)
当阻尼比为0，也即阻尼角为0时，为无阻尼，此时单位阶跃响应为等幅振荡
当阻尼比增大，振荡幅值减小，频率更小
峰值时间 t p t_{p} tp
最大偏差 A A A
超调量 σ % \sigma\% σ%
衰减比 n n n
取m=3时，求得的峰值，算衰减比
调节时间 t s t_{s} ts
用包络线间接求调节时间
上升时间 t r t_{r} tr
稳态值
用终值定理求
总结
系统稳定性分析
劳斯稳定判据
临界阻尼系统分析
临界阻尼系统单位阶跃响应，输出响应为单调函数
过阻尼系统分析
过阻尼系统单位阶跃响应
对于一个传递函数来说，极点决定了传递函数的性质（几阶传递函数的线性组合），极点和零点决定了各阶的权重
对于任意一个传递函数可以写成以下形式：
则对于阶跃信号作为输入信号，可求得阶跃输出响应
所有传递函数都可以写成一阶和二阶的线性组合
闭环主导极点：
这个极点距离虚轴是最近的，并且周围没有其他极点
其他极点距离这个闭环主导极点的距离是5倍以上，则输出响应与这个闭环主导极点对于的响应是基本一样的
高阶系统简化可以保留闭环主导极点而删去其他极点（保留其常数项），不影响稳态响应
判定系统是否稳定的充分必要条件：系统所有的特征根都有负实数（所有极点都在虚轴的左侧）
但有时候无法求得（很难）特征根，则需要用劳斯（Routh）稳定判据：
- 所有系数都要大于0
- 利用劳斯行列式：如果第一列都是正的，则系统是稳定的；第一列符号每变换一次，则有一个不稳定特征根
若第一行第一个元素为0：则用
ϵ
\epsilon
ϵ代替，之后用
ϵ
\epsilon
ϵ趋于0求得符号。
若第一行第一个元素为0另一种解法：
若有一行全为0，则将其上一行构造辅助方程后求导，其系数为全0行系数。若最终第一列符号不发生变化，则一定有一对纯虚根；若发生变换则有一对大小相等符号相反的互为相反数的实数根
PID控制器
P 、I 、D环节
PI控制器
PID
根轨迹
根-轨迹 （Root-locus）
- 当系统中的参数在整个范围内发生变化时，闭环特征根的轨迹。
- 在已知开环零点和极点的条件下，绘制 s 平面上闭环特征根的轨迹。
- 根位点可以直接反映闭环特征根在 s 平面上的位置和变化。
- 可以获得闭环系统时间响应的所有信息，并可以分析系统参数与闭环特征根之间的关系。
- 研究闭环特征根的分布与闭环系统的动力学特性之间的定性和定量关系。
- 根据控制系统所需的动态特性确定闭环特征根的位置。
- 研究调节器参数与闭环特征根之间的关系，并设计调节器。
绘制方法（八个步骤、规则）
注释：
G
(
s
)
G(s)
G(s)为前向传递函数
H
(
s
)
H(s)
H(s)为反馈传递函数
K
K
K为开环增益
G
(
s
)
H
(
s
)
G(s)H(s)
G(s)H(s)为开环传递函数，意为开环时误差函数与反馈值的比值
G
(
s
)
1
+
G
(
s
)
H
(
s
)
\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}
1+G(s)H(s)G(s)为闭环传递函数
1
+
G
(
s
)
H
(
s
)
1+G(s)H(s)
1+G(s)H(s)为闭环特征函数
1. 求得开环传递函数的零点、极点
闭环极点的数量 = 闭环特性方程的阶数 = 开环极点的数量 = 开环传递函数的阶数
2. 特征根的起点和终点
始于开环传递函数的极点，终于开环传递函数的零点或无穷远处，整个根轨迹其实就是改变K值时，特征根的变化轨迹
当K=0时即特征根为开环极点，则始于开环传递函数的极点
当K=无穷时时即特征根为开环零点，则开环传递函数的零点或无穷远处
3. 根轨迹是连续且基于实轴对称的
字面意思
↑
\uparrow
↑
4. 画出在实轴上的根轨迹
在实轴上的根轨迹右侧一定有奇数个开环零点或极点
5. 画出根轨迹的渐近线
- 求出渐近线相对于实轴的角度
- 求出根轨迹渐近线与实轴的交点
6. 求出根轨迹的实轴分离点、离去角
7. 根轨迹与虚轴的交点
8. 复共轭开环极点的离去角
单参数根轨迹
列出闭环特征方程，将所需参数放置于分子，其他项为分母，得到一个等效开环传递函数
(
G
H
)
e
(GH)_e
(GH)e，其闭环特征方程等于原有的闭环特征方程。并用等效开环传递函数
(
G
H
)
e
(GH)_e
(GH)e绘制根轨迹图。
多参数根轨迹
与单参数根轨迹同理，将一个所需的参数置于分子，其他含参的项放分母。不同参数绘制出的根轨迹图也不同。
特征根与系统之间的关系
同阻尼角：超调量、衰减比相同
同虚部：峰值时间相同
同实部：稳定时间相同
那么，根据对超调量、峰值时间、稳定时间的需求，可以分别求出对阻尼角、虚部、实部的范围要求，从而得到特征根的所需范围
频域分析系统特性
- 利用系统的开环频率特性图，可以直接分析闭环系统的性能，无需求解闭环特征值
- 系统或元件的频率特性可通过实验确定
- 可以研究系统参数或结构变化对系统性能的影响
- 控制系统的频域设计能满足动态响应和噪声抑制的要求
- 它不仅可以应用于线性时不变系统，还可以应用于一些纯时延系统和非线性系统
频率响应特性方程
将s用
j
ω
j\omega
jω代替，求出
G
(
j
ω
)
G(j\omega)
G(jω)的幅值与相移
典型环节的极坐标图
- 一阶惯性系统
- 放大环节
- 纯滞后环节
- 积分和微分环节
- 带滞后环节的一阶惯性系统
- 二阶惯性系统
- 三阶系统
幅值、相位特性伯德图
奈奎斯特稳定判据
利用开环传递函数判断闭环系统的稳定性
P
−
Z
=
N
P-Z=N
P−Z=N
其中
P
P
P为开环传递函数
G
(
s
)
H
(
s
)
G(s)H(s)
G(s)H(s)在复平面右半平面的极点个数
Z
Z
Z为闭环传递函数
G
(
s
)
1
+
G
(
s
)
H
(
s
)
\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}
1+G(s)H(s)G(s)在复平面右边平面的极点个数
N
N
N为奈奎斯特曲线在
F
(
s
)
F(s)
F(s)平面绕
(
−
1
,
0
)
(-1,0)
(−1,0)点的逆时针圈数
要使系统稳定，则闭环传递函数 G ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} 1+G(s)H(s)G(s)在复平面右边平面的极点个数 Z Z Z必须为0。那么 P = N P=N P=N是系统稳定的必要条件。
幅值裕度、相位裕度
参考文献
北京理工大学 自动控制理论 张金会老师的PPT（全英PPT，但用latex制作的PPT十分精良）
作者的话
这个是我复习的时候写的，写出来的东西比较构式可能看的不太懂，如果真的有人能看完，那么谢谢你陌生人。(●’◡’●)
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