Leetcode-338. Counting Bits

我的解法：

这道题是看了hinks然后才做出来的，而且还很慢，还是要多练习。

1.题意要素：

（1）正整数

（2）时间复杂度O(n), 空间复杂度O(n), 不使用C++ builtin函数。

2.关键技巧：

划分区间，找规律。

3.具体解法：

先把1-15的二进制和其对应的1的个数列出来

0    0000    0
-------------
1    0001    1
-------------
2    0010    1
3    0011    2
-------------
4    0100    1
5    0101    2
6    0110    2
7    0111    3
-------------
8    1000    1
9    1001    2
10   1010    2
11   1011    3
12   1100    2
13   1101    3
14   1110    3
15   1111    4

从1开始观察，可以看到有相邻连续的重复序列。可以考虑划分区间找规律。按2的幂次2^0, [2^1~2^2), [2^2, 2^3) 的规律来划分区间，每个区间内整数的个数是上一个区间的2倍，将序列划分为 1, [2,3), [4,7) , [8,15) 。。。然后可以看到，下一个区间，前半部分1的个数的值序列和上一个区间的1的个数的值序列一样，后半部分为上一个区间的1的个数的值序列+1。比如[2,3)区间的1个数序列为{1,2}, 那么[4,7)区间的1个数序列就为 {1,2, (1+1), (2+1)} 即 {1, 2, 2, 3}。也就是说，上一个区间的序列会作为下一个区间的前半部，下一个区间的前半部分序列+1会作为该区间的后半部分。

找到这个规律问题就变成了，如何用确定给定的数字n在哪个区间，是这个区间的前一部分还是后一部分。如何将前后区间的序列对应起来。

如何判断n属于哪个区间：

前面说了，我们是按照幂次来划分的，那么我们就可以用一个变量p来记录当前n所属区间最小值对应的2的幂次。每次循环前，将n与下一个区间的最小值（ 即2^(p+1) ）比较，如果n比下一个区间的最小值大，则代表n属于下一个区间，将p+1让其能正确指示当前的区间。

如何判断n落在这个区间的前面部分还是后面部分：

除了第一个点1，其余每个区间的最小值是2^p, 上限是2^(p-1), 左闭右开。中值为 2^p + 2^(p-1)即 3/2(2^p)。以中点作为前后区间划分的依据。

如何将前后区间的序列对应起来：

前面提到，上一个区间的序列会作为下一个区间的前半部，下一个区间的前半部分序列+1会作为该区间的后半部分。那这就是一个平移的对应关系。下一个区间的前半部分的相对上一个区间，下一个区间的后半部分相对于该区间的前半部分的位移量都是是上一个区间的大小，即2^(p-1)

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;

vector<int> countBits(int num) ;

int main(){
	int num = 5;
	vector<int> v = countBits(num);
	for(int i = 0; i < v.size(); i++){
		cout << " " << v[i];
	}
	return 0;
}


vector<int> countBits(int num){
	vector<int> bitV;
	bitV.push_back(0);
	if(num >= 1){
		bitV.push_back(1);
	}
	
	int p = 1;
	for (int i = 2; i < num+1; i++){
		if(i >= pow(2, p+1)) 
			p++;
		if(i < 3 * pow(2,p) / 2){
			bitV.push_back(bitV[i - pow(2,p-1)]);
		}
		else{
			bitV.push_back(bitV[i - pow(2,p-1)] + 1);
		}
	}
	return bitV;
}

论坛的一种很帅的解法：来自 https://discuss.leetcode.com/topic/40262/four-lines-c-time-o-n-space-o-n/4

hint里面有一句话“You should make use of what you have produced already.”。这表明我们需要找到一个由前面结果生成后面结果的关系，第一种解法是一种前后结果关系，而n&(n-1)可以很巧妙的得到另一种前后关系。n&(n-1) 可以消灭n的二进制表示最右边的的一个1，也就是说，n的二进制表示相比于n&(n-1) 的二进制表示，最右边少了一个1。

    vector<int> countBits(int num ) {
        vector<int> ret(num+1, 0);
        for (int i = 1; i <= num; ++i)
            ret[i] = ret[i&(i-1)] + 1; 
        return ret;
    }