LeetCode简易题解--053

题意简述：给定一个数组，这个数组有许多连续子集，每个子集的所有数字之和记为A，找出A的最大值。

例如，数组为[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，最大子集为：[4,-1,2,1],其和为6.

解法：动态规划

记录数组sums[]，sums[i]表示从第0到第i个数字之和。则sums[i, j] = sums[i] - sums[j - 1], j < i。
那么该问题则转化为找出sums[]中的最大差值，类似LeetCode第121题。

例如，对数组[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，sums[] = [-2,-1,-4,0,-1,1,2,-3,1]，最大差值为2-(-4)=6

这个问题怎么求呢？
遍历数组，记录当前遇到的最小值min，数组中的每一个数都减去min，将该结果与当前记录的最大差值max比较决定是否更新max的值。遍历结束后max就是最大差值。

int min = nums[0];
int max = 0;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
    if (nums[i] < min) min = nums[i];
    if (nums[i] - min > max) {
        max = nums[i] - min;
    }
}

但是这个方法不是万能的，有两种例外：

1. 目标数组所有元素都为负数时。此时sums[]是降序排序的，因此min肯定是当前的值，这样便无法求出结果。例如，对数组[-1, -2]，sums[] = [-1, -3]，max始终为0.
2. 最大子数组下标从0开始并且此最大子数组所有元素都为非负数。例如，对数组[1, 2, -1]，sums[] = [1, 3, 2]。此时若按照以上的方法求，得出的结果为3 - 1 = 2，但实际上最大子数组却是[1, 2]，结果为3。原因在于：sums[i, j] = sums[i] - sums[j - 1], j < i。此时，结果是sums[1, 0]，表示从0号元素加到1号元素，但是，sums[j - 1] = sums[0 - 1] = sums[-1]是不存在的。

第一种情况的解决方法是，既然以上的方法不能处理sums[]是降序排序的情况，那么就对这种情况单独考虑：遍历找到数组中的最大值，这个最大值就是结果（所有元素都是负数，那么最大子数组只会有一个元素，就是数组中的最大值。

bool negative = true;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
    if (nums[i] > 0) negative = false;
}
if (negative) {
    int max = INT_MIN;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        if (nums[i] > max) max = nums[i];
    return max;
}

第二种情况的解决方法是：既然sums[-1]是不能存在的，那么我们只要假设它存在就好了：将sums[]右移一位，第一位置为0，那么第1个元素加到第i个元素表示为sums[i+1]。例如，对数组[1, 2, -1]，sums[] = [0, 1, 3, 2]。此时，sums[1, 0]的值应为sums[2] - sum[0] = 3，这样便得到了正确的结果。因此代码修改为：

vector<int> sums(n + 1, 0);
int max = 0;
int min = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
    sums[i + 1] = sums[i] + nums[i];
    if (sums[i + 1] < min) min = sums[i + 1];
    if (sums[i + 1] - min > max)
        max = sums[i + 1] - min;
}

最后总的代码为：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();

        bool negative = true;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (nums[i] > 0) negative = false;
        }
        if (negative) {
            int max = INT_MIN;
            for (int i = 0; i < n; ++i)
                if (nums[i] > max) max = nums[i];
            return max;
        }

        vector<int> sums(n + 1, 0);
        int max = 0;
        int min = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            sums[i + 1] = sums[i] + nums[i];
            if (sums[i + 1] < min) min = sums[i + 1];
            if (sums[i + 1] - min > max)
                max = sums[i + 1] - min;
        }
        return max;
    }
};