数学模型问题+答

四角连线为长方形的椅子能放在不平的地面吗？

模型假设

1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触完全看作一个点

2.地面高度不会突然急剧变化，地面高度连续变化

3.椅子在任意位置至少有三条腿同时着地

模型建立

中心问题是用数学语言把椅子四条腿同时着地的条件和结论。

首先我们用椅子腿对角线 AC 与 x 轴的夹角 θ 来表示椅子的位置，其次，我们需要用数学语言来描述椅子腿距地面的距离，由于长方形的中心对称性，所以我们只需要设两个距离函数：

- A,C 两脚距离地面的距离和 f(θ)

- B,D 两脚距离地面的距离和 g(θ)

我们看到这两个函数都是关于椅子位置（θ）的函数，并且根据我们之前的假设2，我们可以知道这两个函数都是连续函数。

根据假设3（在任何时候椅子至少要能有三条腿着地），我们就可以得到，对于任意的 夹角 θ ，f(x) 与 g(x) 至少有一个为0，我们假设 g(x) = 0， f(x) > 0,由于长方形的中心对称性，当椅子转动90度后，于是 f(π/2) = 0， g(π/2) > 0

因此可以把问题抽象为一个数学命题，用数学语言描述如下：

已知 f(x) 和 g(x) 是关于 θ 的连续函数，对于任意的 θ ，f(x) * g(x) = 0 ,且 g(0) = f(π/2) = 0, f(0) > 0 , g(π/2) > 0 。证明：存在一个角度θ0，使得f(θ0) = g(θ0) = 0

模型求解

当θ=0时，h（0）=f（0）-g（0）=其结果>0

当θ=Π/2时，h（Π/2）=f（Π/2）-g（Π/2）=其结果<0

则必然存在θ1（0<θ1<Π/2),使得h（θ1）==0，得证明f（θ1）=g（θ1），一定存在四只脚着地得情况

零值定理为介值定理的推论.又名零点定理.其内容为：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a，b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0.

模型分析

对模型假设的分析：第一个假设合理，第二个假设不能出现台阶形断裂，第三个假设要排除小的深沟及其他凹凸不平地面。

假设中的2，3条件是模型建立必需的，同时椅脚连线呈正方形也可以，只要出现g(0) = f(π/2) = 0, f(0) > 0 , g(π/2) > 0这种情况就可以，结论仍可以成立。

最终得到的结论为，在我们假设的条件下，四角连线为长方形的椅子能放在不平的地面上。