【回溯法】批处理作业调度问题 C/C++

问题描述

给定n个作业的集合J = (j1,j2,j3….jn)，每个作业都必须先在第一个机器执行t1时间，然后在第二个机器执行t2时间。我们的目标是找到一个作业的排列顺序，使得所有作业的总等待加执行时间之和最小。这个问题在调度理论中被称为双机流水线调度问题，是经典的组合优化问题之一。

问题分析

该问题的解空间是排列树，因为我们需要考虑所有可能的作业排列顺序。对于n个作业，总共有n!种可能的排列。由于问题的规模随着n的增加而急剧增大，我们需要一种高效的算法来找到最优解。

代码实现

数据结构：

• f1:机器1完成当前作业的时间
• f2[]: 机器2完成作业i时的时间，即为作业i的执行+等待时间
• x[]：当前作业调度顺序
• bestx[]：最优作业调度顺序

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
# define MAX 100

int n; // 作业数量
int t1[MAX]; // 每个作业在机器1上的执行时间
int t2[MAX]; // 每个作业在机器2上的执行时间
int f1 = 0; // 机器1完成当前作业的时间
int f2[MAX]; // 机器2完成作业i时的时间，即为作业i的执行+等待时间
int x[MAX]; // 当前作业调度顺序
int bestx[MAX]; // 最优作业调度顺序
int t; // 当前完成时间
int bestt = INT_MAX; // 最优完成时间

// 回溯函数，用于搜索最优调度
void backtrack(int i) {
    if (i > n) { // 如果所有作业都已调度
        bestt = t; // 更新最优完成时间
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            bestx[j] = x[j]; // 更新最优调度顺序
    }
    else {
        for (int j = i; j <= n; j++) {
            f1 += t1[x[j]]; // 更新机器1的完成时间
            f2[i] = (f2[i - 1] > f1 ? f2[i - 1] : f1) + t2[x[j]]; // 计算机器2的完成时间
            t += f2[i]; // 更新当前总耗时
            if (t < bestt) { // 如果当前调度比已知最优调度更好
                swap(x[i], x[j]); // 交换作业顺序
                backtrack(i + 1); // 递归调度下一个作业
                swap(x[i], x[j]); // 恢复作业顺序
            }
            f1 -= t1[x[j]]; // 恢复机器1的完成时间
            t -= f2[i]; // 恢复当前总耗时
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n; // 输入作业数量
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> t1[i] >> t2[i]; // 输入每个作业在机器1和机器2上的执行时间
        x[i] = i; // 初始化作业顺序
    }
    backtrack(1); // 开始回溯搜索
    cout << "最优解：" << endl;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << bestx[i] << " "; // 输出最优调度顺序
    }
    cout << endl << "最优时间为：" << bestt; // 输出最优完成时间
    return 0;
}

代码说明

• 终止条件：当处理到第n+1个作业时，记录当前最优解
• 排列生成：通过交换操作生成全排列
• 时间计算：
  • 机器1累计时间：$f1+=t1[x[j]]$
  • 机器2完成时间：$f2[i]=\max (f2[i-1],f1)+t2[x[j]]$
• 剪枝优化：当前累计时间超过已知最优解时停止搜索

应用场景

该算法可以应用于各种需要优化作业调度顺序的场景，例如：

1. 生产线调度：在制造业中，优化生产线上的作业顺序可以显著提高生产效率。例如，在汽车制造中，不同部件的加工顺序会影响整个生产线的效率。
2. 任务调度：在计算机系统中，优化任务的执行顺序可以减少总等待时间，提高系统响应速度。例如，在操作系统中，调度进程的执行顺序可以优化CPU的利用率。
3. 项目管理：在项目管理中，合理安排任务的执行顺序可以缩短项目总工期，提高资源利用率。例如，在建筑项目中，合理安排各个施工任务的顺序可以避免资源冲突，提高施工效率。

示例

假设有3个作业，其执行时间如下：

• 作业1：t1=3, t2=6
• 作业2：t1=5, t2=2
• 作业3：t1=1, t2=8

通过运行上述代码，我们可以得到最优调度顺序和最优完成时间。例如，最优调度顺序可能是作业3、作业1、作业2，最优完成时间为20。

这个算法通过回溯搜索所有可能的作业排列，找到使总等待加执行时间最小的最优调度顺序。虽然该算法在最坏情况下的时间复杂度为O(n!)，但对于小规模问题，它能够有效地找到最优解。对于大规模问题，可以考虑使用启发式算法或动态规划等更高效的算法来近似求解。

运行下列实例及结果：