循环赛日程表问题

分治法——循环赛日程表问题

问题描述

设有n=$2^k$个运动员要进行网球循环赛。现要设计一个满足以下要求的比赛日程表：
(1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；
(2)每个选手一天只能参赛一次；
(3)循环赛在n-1天内结束

按此要求将比赛日程表设计成有n行和n-1列的一个表。在表中的第i行，第j列处填入第i个选手在第j天所遇到的选手。

算法设计

按分治策略，我们可以将所有的选手分为两半，则n个选手的比赛日程表可以通过n/2个选手的比赛日程表来决定。递归地用这种一分为二的策略对选手进行划分，直到只剩下两个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单。这时只要让这两个选手进行比赛就可以了。如上图，所列出的正方形表是8个选手的比赛日程表。其中左上角与左下角的两小块分别为选手1至选手4和选手5至选手8前3天的比赛日程。据此，将左上角小块中的所有数字按其相对位置抄到右下角，又将左下角小块中的所有数字按其相对位置抄到右上角，这样我们就分别安排好了选手1至选手4和选手5至选手8在后4天的比赛日程。依此思想容易将这个比赛日程表推广到具有任意多个选手的情形。

根据这样的思路，数据结构主要有二维数组和栈。

在每次迭代中，将问题划分为4部分：

1. 左上角：左上角为$2^{k-1}$个选手在前半程的比赛日程；
2. 左下角：左下角为另$2^{k-1}$个选手在前半程的比赛日程，由左上角加$2^{k-1}$得到，例如$2^2$个选手比赛，左下角由左上角直接加2得到；$2^3$个选手比赛，左下角由左上角直接加4得到；
3. 右上角：将左下角直接抄到右上角得到另$2^{k-1}$个选手在后半程的比赛日程；
4. 右下角：将左上角直接抄到右下角得到2k−12^{k-1}