卡尔曼滤波学习(3)

原创已于 2024-03-09 16:04:27 修改 · 754 阅读

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#学习 #算法

于 2024-03-09 16:01:38 首次发布

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文章介绍了协方差矩阵的概念，如何通过矩阵形式表示变量间的关系，如正相关和负相关，以及在球员身高、体重和年龄数据中的应用。计算过程包括方差求解和协方差矩阵的构建，展示了其在描述数据集内部关联性的重要作用。

协方差矩阵：

把方差、协方差通过一个矩阵表现出来，体现了变量间的联动关系。当协方差大于0时，表明两个变量变化呈现正相关，即同增同减；当协方差小于0时，表明两个变量变化呈现负相关，变量变化方向相反。而协方差的绝对值的大小反应了，两个变量的相关程度，越大相关程度越高。

下面举例说明协方差矩阵求解和作用，下面是球员的信息，来求解身高、体重、年龄的协方差矩阵。

	x	y	z
球员	身高	体重	年龄
A	179	74	33
B	187	80	31
C	175	71	28
均值	180.3333333	75	30.66666667

首先，分别求解x、y、z的方差

$\sigma_{x}^{2} = \frac{(179-180.3)^{2} + (187-180.3)^{2} + (175-180.3)^{2}}{3}=24.89$ ，

同理可得

$\sigma_{y}^{2} = 14$

$\sigma_{z}^{2} = 4.22$

其次，分别求解不同组合的协方差 $cov(x,y) = \frac{1}{3}*((179-180.3)*(74-75)+(187-180.3)*(80-75)+(175-180.3)*(71-75)) = 18.7 = \sigma_x\sigma_y$

$cov(x,y)$ 协方差大于0，x、y变化呈现正相关，我们可以观察每一对x、y都是同时大于或小于平均值。

列出 $cov(y,x)$ 的求解式子发现结果和上式是一致的，

故 $cov(x,y)=cov(y,x)=\sigma_x\sigma_y$ 。

同理可得：

$cov(x,z) = cov(z,x)=4.4$

$cov(y,z)=cov(z,y)=3.3$

下面列出x，y，z的协方差矩阵:

$P = \begin{bmatrix}\sigma_x^{2} ,\sigma_x\sigma_y,\sigma_x\sigma_z & & \\ \sigma_y\sigma_x,\sigma_y^{2},\sigma_y\sigma_z & & \\ \sigma_z\sigma_x,\sigma_z\sigma_y,\sigma_z^{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}24.89, 18.7,4.4 & & \\ 18.7,14,3.3 & & \\ 4.4,3.3,4.22 & & \end{bmatrix}$

矩阵P一定程度上反应了，球员的身高、年龄、体重的相关程度，可以看出身高和体重的相关程度较高，而年龄和身高/体重的相关程度均较低。

下面列出使用矩阵求解协方差矩阵的计算过程，首先求解过渡矩阵 $a = \begin{bmatrix}x_1,y_1,z_1 & & \\ x_2,y_2,z_2 & & \\ x_3,y_3,z_3 & & \end{bmatrix} -\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1,1,1 & & \\ 1,1,1 & & \\ 1,1,1 & & \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1,y_1,z_1 & & \\ x_2,y_2,z_2 & & \\ x_3,y_3,z_3 & & \end{bmatrix}$

$P = \frac{1}{3}a*a^{T}$

参考资料【【卡尔曼滤波器】2_数学基础_数据融合_协方差矩阵_状态空间方程_观测器问题】 https://www.bilibili.com/video/BV12D4y1S7fU/?share_source=copy_web&vd_source=c29456ffa88bc7559f8ffbe6f8e8f7a5