同余定理巧用2(+递推)

本文介绍了一种高效计算斐波那契数列指定项的方法,利用了模运算的性质来减少计算过程中数值的大小,并结合位操作进一步优化计算过程。通过预计算的方式,实现了对大数的快速求解。

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(a*b)%c=((a%c)*(b%c))%c;

(a+b)%c=((a%c)+(b%c))%c;

与斐波那契结合:

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<cstdio>
#define N 35
#define M 1314520
#include<bitset>
//bitset
using namespace std;
int s[250];
void financial()
{
 s[0]=0;s[1]=1;
 for(int i=2;i<210;++i)
  s[i]=(s[i-1]+s[i-2])%M;

}
int main()
{
 int n;
 financial();
 while(~scanf("%d",&n))
 {
  int m;
  bitset<N>Q(n);
  for(int i=N-1;i>=0;--i)
   if(Q.test(i)){ m=i+1;break;}
   m=(m-Q.count())*Q.count();
        printf("%d\n",s[m+1]);
  }return 0;
}

 

 

<think>好的,我需要回答用户关于中国剩余定理的压缩实现或算法的问题。首先,我要确保自己对中国剩余定理(CRT)有足够的理解。中国剩余定理是数论中的一个重要定理,用于解决一组同余方程的问题,特别是在模数两两互质的情况下,可以找到一个唯一的解模这些模数的乘积。 接下来,用户提到了“压缩算法实现”。这里的“压缩”可能指的是如何高效或优化地实现CRT,尤其是在处理多个同余方程时,如何合并这些方程,减少计算量或存储空间。我需要考虑现有的CRT实现方法,尤其是扩展中国剩余定理(exCRT),它处理模数不互质的情况,这可能与用户的问题相关。 根据参考内容,引用[3]提到了扩展中国剩余定理(exCRT),这可能对处理非互质模数有帮助。因此,我需要解释exCRT的基本步骤,以及如何通过递推合并方程来逐步求解,这可能是压缩实现的一部分。 另外,用户可能关心的是如何优化存储或计算步骤。例如,在合并两个同余方程时,如何有效计算模数和余数,避免重复计算或减少中间变量的存储。这可能涉及到数学上的优化,比如利用贝祖定理求解线性同余方程,或者处理模数不互质时的调整。 我还需要考虑代码实现,用户可能希望看到具体的算法步骤或代码示例。但根据系统级指令,代码必须用正确的格式,并且用户要求的是压缩实现,所以可能需要展示一个高效的算法结构,比如循环合并方程,每次处理两个方程,直到所有方程合并完成。 另外,引用[2]提到空间复杂度的重要性,因此在实现时需要考虑如何减少内存使用。例如,在合并过程中逐步更新当前的解和模数,而不是保留所有中间结果,这样可以节省空间。 需要验证的是,合并过程中的每一步是否正确,如何处理模数不互质的情况,以及如何确保解的存在性。例如,当两个方程的解不满足合并条件时,整个系统无解,此时需要抛出错误或处理异常。 最后,生成相关问题需要考虑用户可能进一步感兴趣的方面,比如exCRT的应用场景、优化方法的时间复杂度,或者与其他数论问题的结合,如引用[3]提到的斐波那契数列的循环节问题。 总结来说,我需要分步骤解释中国剩余定理的压缩实现,可能包括exCRT的递推合并方法,代码示例,以及优化存储和计算的策略,同时引用相关参考文献,并生成相关问题。</think>### 中国剩余定理的压缩实现 中国剩余定理(CRT)用于求解同余方程组: $$x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod{m_2} \\ \vdots \\ x \equiv a_n \pmod{m_n}$$ 当模数两两互质时,存在唯一解模$M = m_1 \cdot m_2 \cdots m_n$。 **压缩实现的核心在于逐步合并方程,减少重复计算**,尤其在模数不互质时需使用扩展中国剩余定理(exCRT)[^3]。 --- #### 算法步骤(exCRT递推合并) 1. **初始化**:令当前解$x = a_1$,当前模数$M = m_1$。 2. **逐次合并**: - 对第$i$个方程$x \equiv a_i \pmod{m_i}$,需满足: $$x + k \cdot M \equiv a_i \pmod{m_i} \quad (k \text{为整数})$$ - 化简为线性同余方程: $$k \cdot M \equiv a_i - x \pmod{m_i}$$ - 用扩展欧几里得算法求$k$,若无解则整个系统无解。 - 更新解和模数: $$x' = x + k \cdot M \\ M' = \text{lcm}(M, m_i)$$ 3. **最终解**:$x \bmod M'$。 --- #### 代码实现(Python) ```python def exCRT(a_list, m_list): from math import gcd x, M = 0, 1 # 初始解和模数 for ai, mi in zip(a_list, m_list): d = gcd(M, mi) if (ai - x) % d != 0: return -1 # 无解 # 解方程 k*M ≡ (ai - x) (mod mi) _, k, _ = extended_gcd(M, mi) k *= (ai - x) // d x += k * M M = (M * mi) // d # 更新为最小公倍数 x %= M # 保持最小非负解 return x def extended_gcd(a, b): if b == 0: return a, 1, 0 else: g, x, y = extended_gcd(b, a % b) return g, y, x - (a // b) * y ``` --- #### 优化与压缩 1. **空间优化**:仅维护当前解$x$和模数$M$,无需存储所有中间结果[^2]。 2. **计算优化**:使用递推合并代替递归,减少栈空间占用。 3. **并行化潜力**:若方程分组互质,可分组并行合并后再次合并。 ---
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