P2679 [NOIP 2015 提高组] 子串

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文章标签：

#算法 #c++ #笔记 #蓝桥杯 #动态规划

题目

P2679 [NOIP 2015 提高组] 子串

算法标签: 动态规划, 线性 $d p$

思路

因为涉及到两个字符串, 因此最少需要两维状态 $i, j$ , 然后还要统计当前已经使用了多少个 $A$ 当中的子串 $k$ , 对于当前位置 $A [i]$ 和 $B [j]$ 是否相等也是一种决策, 因此可以设计状态表示 $f [i] [j] [k] [l]$ , 表示考虑 $A$ 的前 $i$ 个字符, $B$ 的前 $j$ 个字符, 已经使用了 $k$ 个子串, 并且当前位置 $i$ 的字符选择或者不选择的状态是 $l$ 的所有方案的方案数量, 计算空间 $1000 \times 1000 \times 200 \times 2 \times 4byte$ 大约是 $381 MB$ , 空间会超过题目限制, 观察到状态转移只与上一个 $i$ 有关, 可以使用滚动数组进行空间优化

如何进行状态转移?
对于当前位置 $A [i]$ 如果与 $B [j]$ 相等, 那么可以选择将当前字符作为子串的延续或者新的子串的开始, 如果不相等那么不能选择当前字符

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 210, MOD = 1e9 + 7;

int n, m, k;
int f[2][N][M][2];
string s1, s2;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    cin >> n >> m >> k;
    cin >> s1 >> s2;
    s1 = ' ' + s1;
    s2 = ' ' + s2;

    memset(f, 0, sizeof(f));
    f[0][0][0][0] = 1;

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        //注意这个位置, 每次滚动数组都需要将当前层的状态清空, 同时初始化f[i & 1][0][0][0]空字符串匹配也是一种方案
        memset(f[i & 1], 0, sizeof(f[i & 1]));
        f[i & 1][0][0][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            for (int l = 1; l <= k; ++l) {

                f[i & 1][j][l][0] = (f[i - 1 & 1][j][l][0] + f[i - 1 & 1][j][l][1]) % MOD;
                if (s1[i] == s2[j]) {
                    f[i & 1][j][l][1] = f[i - 1 & 1][j - 1][l][1];
                    f[i & 1][j][l][1] = (f[i & 1][j][l][1] + (f[i - 1 & 1][j - 1][l - 1][0] + f[i - 1 & 1][j - 1][l - 1][1]) % MOD) % MOD;
                }
                else {
                    f[i & 1][j][l][1] = 0;
                }
            }
        }
    }

    int ans = (f[n & 1][m][k][0] + f[n & 1][m][k][1]) % MOD;
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}