洛谷3518strongbox(poi2011)_洛谷4375-优快云博客

本文探讨了一个数学问题，即如何找出给定密码及其相关因子中最小的有效因子，并通过编程实现了解决方案。文中详细介绍了如何利用最大公约数（GCD）和其他数学原理来确定哪些数可以作为密码使用。

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注意审题，a是密码，那么a，2a，3a……也是密码，推出t=gcd（n,ak）的倍数也是密码。这个t，可能是a+b=c中的c，也可能是其中的a，b。如果（a,b）是密码，那么存在ax+by=c，而这个方程有解的条件是c%gcd（a,b）==0,c的因子都可以是密码。

已知t是密码，t的因子也是密码，因此我们要找最小的因子。若a是密码，b不是密码，那么gcd（a,b）的因子也不是密码。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h> 
using namespace std;
const long long N=1e7+10;

long long gcd(long long a,long long b){
    if(b==0)return a;
    return gcd(b,a%b);
}
long long n,k,a[N]={0},b[N],gcdnk,tmp,j=0;
bool fb[N];//因子bi有没有被约掉 
int main(){

    int bj=0;
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=k;i++)scanf("%lld",&a[i]);
    gcdnk=gcd(n,a[k]);// 
    tmp=sqrt(gcdnk);
    for(int i=1;i<=tmp;i++)//求gcdnk的所有因子数；
        if(gcdnk%i==0)b[bj++]=i,b[bj++]=gcdnk/i; 
    if(b[bj-1]==b[bj-2])bj--; 
    sort(b,b+bj); 
    for(int i=1;i<k;i++)a[i]=gcd(a[i],gcdnk);
    long long ans=n;
    for(int i=1;i<k;i++){//找a[i] 在b[j]中是否出现过。 
        fb[lower_bound(b,b+bj,a[i])-b]=1;
    }
    for(int i=0;i<bj;i++){//去掉f[]=1的数的所有因子
        if(fb[i])
            for(int j=0;b[j]<b[i];j++) 
                if(b[i]%b[j]==0)fb[j]=1;
    }
    ans=1;
    for(int i=0;i<bj;i++)if(!fb[i]){ans=b[i]; break;}
    cout<<n/ans<<endl;	
}