计蒜客-程序设计竞赛入门

LIS

最长上升子序列 (Longest Increasing Subsequence, 常简称为 LIS) 是动态规划解决的一个经典问题。
我们先讲一下子序列是什么。一个数组的子序列就是从里面选出一些元素，并将他们保持原有的先后顺序排列。比如[1, 2, 3, 4, 5]的子序列有[1, 3, 5]、[3, 4]，而[1, 5, 3]则不是这个数组的子序列。
这里多介绍一下，还有一个容易与子序列混淆的概念：子串。子串是指从一个数组中选出连续的一个或多个元素，并且保持他们原有的顺序。子串一定是子序列，比如前面的子序列[3, 4]就是子串，但[1, 3, 5]不是子串，因为这三个元素在原数组中并不是连续的。
一句话总结他们的区别，就是子序列可以不连续，而子串必须连续。
上升子序列是指子序列Ai中满足 A1 < A2 < ... < An，也就是后面的元素一定比前面的元素大，比如(1, 3, 5)是上升子序列，(1, 3, 3)和(1, 4, 3)都不是。现在来跟我一起解决最长上升子序列的问题吧！(o・・o)/

输入格式：

第一行一个整数n(1 ≤ n ≤ 100)，表示序列的长度。
第二行 n 个整数，表示序列中的每个元素。

输出格式：

输出只有一行，为最长上升子序列的长度。

样例输入：

5

1 5 2 3 4

样例输出：

4

我们首先要把问题拆分成很多子问题。对于这道题来说，我们分解为这样的N个子问题：求解最后一个元素为原数组中第 i (1 ≤ i ≤ n)个元素的最长上升子序列的长度。
如果我们把N个问题都计算出来了，那么最终结果就从所有子问题中选出一个最大值是不是就可以啦？

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n, dp[101], num[101], result = 0;
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &num[i]);
    }
    // begin: 在下面实现动态规划的核心代码
    for(int i=1;i<=n;++i){
        dp[i]=1;    //最小升序列长度自然是1
        for (int j=1;j<i;++j){
            if(num[j]<num[i]){
                dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
                //printf ("%d   %d#1\n",dp[i],i);
            }
        }
        result=max(result,dp[i]);
       // printf ("%d#2\n",result);
    }
    // end.
    printf("%d\n", result);
    return 0;
}

总结：

当我们求解以第三个元素为结尾的最长上升子序列长度 len[3] 时，已经求得之前所有的解(len[1], len[2])，而第三个元素 2 要比第一个元素 1 大，却比第二个元素 5 小。所以第三个元素的解可以通过第一个元素的解+1 更新得到。所以我们在求 dp[i] 的时候，只要把前面比第i个元素小的位置对应的 dp 值+1 再计算出最大值即可。