离散正弦型变换

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正弦型变换(DST)

    离散正弦变换为离散变换的一种，其酉核矩阵元素基于正弦函数，建立在实数域上：
$$T_{i,k}=\sqrt{\frac{2}{N+1}}sin[\frac{\pi (i+1)(k+1)}{N+1}]$$

哈特利变换(Hartley)

    哈特利变换用一种最直接的方式将傅里叶变换映射到实数域中，其基函数为
$$cas(\theta )=cos(\theta )+sin(\theta )$$

方波型变换

    方波型变换为离散正弦变换的一种，相比于三角函数使用有限方波的叠加作为基函数，因此计算更快。

沃尔什系列变换

    沃尔什系列变换包括沃尔什变换(Walsh)，哈达玛变换(Hadamard)和定序哈达玛变换。他们都选择最简单是数域{-1,1}，并且要求输入矩阵$N=2^n$。这是因为$2^n$个±1刚好可以组成N个正交向量（任意两个基向量汉明距离为$2^{n-1}$,在$[1...2^n]$的空间中可以取到$log(2^n)=n个$）。

    由于基向量的有限性，并且三种变换0频向量都为全1向量，因此实际上三种变换使用的是同一组基向量，只是变换了排列顺序。
    沃尔什变换使用如下系数形成核矩阵：
$$W_{x,u}=\prod _{i=0}^{p-1}{-1}^{b_i(x)b_{p-1-i}(u)}$$
其中$b_i(x)$为x二进制表示中右数第i位是否为一的指示变量，这里其实可以看作x和u二进制数的反序串按位与后逐位作和。
    比如要计算$N=8$时的$W_{1,3}$即可转化为001和110的与，结果为000再逐位相加，因此$W_{1,3}=0$
    哈达玛变换使用如下方法构造核矩阵：
$$H_2=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$$
$$H_N=\left[\begin{array}{cc}{H}_{N/2}& H_{N/2}\\ H_{N/2}& -H_{N/2}\end{array}\right]$$
核矩阵即为$\frac{1}{\sqrt{N}}{H}_N$
    定序哈达玛变换即将哈达玛核矩阵按照每一行的 列率(sequency) 从小到大重新排列，列率即一行中符号变化的次数。比如[1 -1 1 1]列率为2，[1 -1 -1 -1]列率为1。

斜变换

    写变化的酉核矩阵可以从2维哈尔或哈达玛矩阵迭代生成。这里不做公式说明。

哈尔变换(Haar)

    哈尔变换使用哈尔函数作为基函数，与傅里叶变换相比，哈尔函数在尺度（长宽）和位置（坐标）上都有不同，因此需要双重索引机制，即$k=2^p+q-1$为一个一一映射，k可以唯一决定p和q。
哈尔函数定义如下：
$$h_0(x)=\frac{1}{\sqrt{N}}$$
$$h_k(x)=\frac{1}{\sqrt{N}}\{\begin{array}{rlr}{2}^{p/2}& & \frac{q-1}{2^p}\le x\le \frac{q-1/2}{2^p}\\ -2^{p/2}& & \frac{q-1/2}{2^p}\le x\le \frac{q}{2^p}\\ 0& & 其他\end{array}$$
其中p用来描述尺度，q描述位置（平移量）。由于哈尔变换同样为对称、可分离酉变换，因此二维哈尔变换可以通过$HfH$计算，逆变换即为哈尔变换本身。