动态规划算法：背包问题

题目：

有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的重量是 w [ i ]，价值是 v [ i ]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。总的来说要求就是以下几点：

1. 要求达到的目标为装入背包的总价值最大，并且重量不超出。
2. 要求装入的物品不能重复。每个物品可以选择防与不放。

解题思路：

设计一个二维数组，每一行表示物品（物品应从小到大排序），每一列表示背包的容量（从小递增）。进行设计时，应该将每一个物品从左到右计算，是否装入物品应考虑：

1. 物品重量是否超出，超出直接取上一位置的数值（因为上一位置的数值，已是背包所能装入的最大价值）。
2. 不超出时应该求当前物品装入后+空余空间所能装入的最大价值（当前背包能装入的重量-当前物品的重量，在数组中查询这一列的最大价值即可）
3. 获取上一位置的数值，与第二步的数值进行比较，将数值大的放入背包中。

代码

	//背包问题
	public static void knapsackProblem(int w[],int val[],int m){
		int n = val.length; //物品的个数
		//创建二维数组，
		//v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
		int[][] v = new int[n+1][m+1];
		//为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
		int[][] path = new int[n+1][m+1];

		//初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
		for(int i = 0; i < v.length; i++) {
			v[i][0] = 0; //将第一列设置为0
		}
		for(int i=0; i < v[0].length; i++) {
			v[0][i] = 0; //将第一行设置0
		}

		int a=0,b=0;
		//根据前面得到公式来动态规划处理
		for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的
			for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的
				if (w[i-1]>j){
					v[i][j]=v[i-1][j];	//和上一个物品的最大价值一样
				}else{
					a=v[i-1][j];	//上一个物品的最大价值
					b=v[i-1][j-w[i-1]]+val[i-1];	//剩余空间所能放下最大价值+当前物品
					v[i][j]=a>b?a:b;
					path[i][j] = 1;		//将j重量时，所存入的i商品记录下来
				}
			}
		}

		//输出一下v 看看目前的情况
		for(int i =0; i < v.length;i++) {
			for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
				System.out.print(v[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}

		System.out.println("============================");

		//最后一个结果输出的重量
		int i = path.length - 1; //行的最大下标
		int j = path[0].length - 1;  //列的最大下标
		System.out.printf("最后一个背包放入的商品有:");
		while(i > 0 && j > 0 ) {
			//	从path的 最后 开始找。当背包空间j=0时，不再进入循环。	i不可能减到剩余0，因为在当前i遍历到0之前，在本列j中一定会出现path=1。
			if(path[i][j] == 1) {
				System.out.printf("第%d个商品 ", i);
				j = j - w[i-1]; 		//减去当前的商品到的重量
			}
			i--;
		}

	}