27、无网格方法：原理、实现与应用

无网格方法：原理、实现与应用

1. 引言

无网格方法是一类数值计算方法，在处理复杂几何形状和大变形问题时具有显著优势。本文将介绍几种基于伽辽金的无网格方法，包括无网格形函数的构造、无单元伽辽金法和无网格局部彼得罗夫 - 伽辽金法。

2. 无网格形函数的构造

无网格方法中，形函数是基于每个节点及其选定的局部相邻节点构造的，不依赖于节点之间的固定关系，节点可以随机分布。以下介绍几种常用的构造无网格形函数的技术。

2.1 光滑粒子流体动力学方法（SPH）

SPH 方法是最古老的无网格方法之一。其基本思想是通过以下公式近似一个函数 $u(x)$：
[
u_h(x) \approx \int_{\Omega} w_h(|x - y|)u(y)d\Omega_y \approx \sum_{I} w_h(|x - x_I|)u_I\Delta V_I
]
其中，$w_h(\cdot)$ 是权重函数，$h$ 是权重函数的支撑大小的度量，$u_I \equiv u(x_I)$，$\Delta V_I$ 是节点 $I$ 周围的域体积，$|x - x_I|$ 表示节点 $x$ 和节点 $x_I$ 之间的欧几里得距离。

权重函数通常满足以下性质：
- $w_h(|x - y|) \geq 0$ 具有紧支撑，即 $|x - y| > \gamma h$ 时为零，其中 $\gamma$ 是缩放因子。
- 归一化条件：$\int_{\Omega} w_h(|x|)dx = 1$。
- 当 $h \to 0$ 时，$w_h(|x|) \to \delta(|x|)$，