5、双曲方程的有限差分方法详解

双曲方程的有限差分方法详解

1. 引言

在处理双曲方程时，我们常常需要有效的数值方法来求解。本文将详细介绍几种常见的有限差分方法，包括它们的原理、稳定性分析以及误差分析。

2. 标量双曲方程

考虑标量双曲方程：
[
\begin{cases}
u_t + au_x = 0, & \forall(x, t) \in (0, 1) \times (0, t_F) \
u|_{t = 0} = u_0(x)
\end{cases}
]
对于该方程，(\frac{dx}{dt} = a(x, t))的解被称为特征线。沿着特征线，解是常数，因为(\frac{du}{dt} = \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x}\frac{dx}{dt} = 0)。当(a)为常数时，方程的解可以表示为(u(x, t) = u_0(x - at))；若(a)仅是(u)的函数，解为(u(x, t) = u_0(x - a(u(x, t))t))，直到特征线相交。

3. 基本差分格式

假设使用均匀网格点：
[
x_j = j\Delta x, \quad 0 \leq j \leq J, \quad \Delta x = \frac{1}{J}
]
[
t_n = n\Delta t, \quad 0 \leq n \leq N, \quad \Delta t = \frac{t_F}{N}
]

3.1 中心差分格式 </