4、偏微分方程有限差分方法：抛物与双曲问题的数值求解

偏微分方程有限差分方法：抛物与双曲问题的数值求解

1. 抛物方程的交替方向隐式（ADI）方法

1.1 二维问题的ADI方法

在求解二维抛物问题时，Crank - Nicolson格式在每个时间步都需要求解一个 $(Jx - 1)×(Jy - 1)$ 的线性方程组，这不仅系数矩阵难以形成，而且存储和直接求解矩阵的成本较高。为解决这一问题，Peaceman和Rachford在1955年提出了交替方向隐式（ADI）方法，其基本思想是将二维问题分解为两个一维问题，通过隐式格式求解，同时不牺牲稳定性约束。

1.1.1 Peaceman - Rachford（PR）格式

PR格式的表达式如下：
[
\begin{cases}
\frac{u_{r,s}^ - u_{r,s}^n}{\frac{1}{2}\Delta t} = \frac{\delta_x^2 u_{r,s}^ }{(\Delta x)^2} + \frac{\delta_y^2 u_{r,s}^n}{(\Delta y)^2} & (2.50)\
\frac{u_{r,s}^{n + 1} - u_{r,s}^ }{\frac{1}{2}\Delta t} = \frac{\delta_x^2 u_{r,s}^ }{(\Delta x)^2} + \frac{\delta_y^2 u_{r,s}^{n + 1}}{(\Delta y)^2} & (2.51)
\end{cases}
]
可改写为：
[
\begin{cases}
(1 -