7、二项式系数的基本恒等式：加法公式的证明与应用

二项式系数的基本恒等式：加法公式的证明与应用

1. 多项式论证法拓展恒等式

在数学中，很多关于二项式系数的恒等式推导最初可能只适用于正整数情况。例如，对于某个推导，它最初只在正整数 ( r ) 时有效，但我们可以宣称该恒等式对所有 ( r ) 值都成立。原因在于等式两边是关于 ( r ) 的 ( k + 1 ) 次多项式。一个次数不超过 ( d ) 的非零多项式最多有 ( d ) 个不同的零点。所以，两个这样的多项式的差，次数也不超过 ( d )，除非它恒等于零，否则其零点不会超过 ( d ) 个。也就是说，如果两个次数不超过 ( d ) 的多项式在超过 ( d ) 个点上取值相同，那么它们在所有点上都相等。我们已经证明了当 ( r ) 为正整数时，((r - k)\binom{r}{k} = r\binom{r - 1}{k})，这意味着这两个多项式在无穷多个点上相等，所以它们恒等。

这种证明技巧被称为多项式论证法，它对于将许多恒等式从整数拓展到实数非常有用。不过，并非所有等式都能使用这种方法，像对称性恒等式（如式 (5.4)）就不是多项式之间的恒等式。但很多恒等式确实具有适合使用该方法的形式。

2. 加法公式介绍

加法公式是一个非常重要的二项式恒等式，表达式为：
(\binom{r}{k} = \binom{r - 1}{k} + \binom{r - 1}{k - 1})，其中 ( k ) 为整数。

当 ( r ) 是正整数时，加法公式表明帕斯卡三角形中的每个数都是上一行中两个数之和，一个是正上方的数，另一个是左上方的数。而且，该公式在 ( r ) 为负数、实数或复数时同样适用，唯一的限制是 ( k ) 必须是整数，这样