15、降维算法：原理、实现与应用

降维算法：原理、实现与应用

1. 引言

在数据处理和分析领域，降维是一项至关重要的技术。它能够减少数据的维度，同时保留数据的关键信息，从而降低计算复杂度，提高模型的效率和性能。本文将介绍常见的降维算法，包括线性和非线性方法，并通过具体的 C++ 库示例来展示它们的实际应用。

2. 降维算法概述

2.1 MDS 算法

MDS（Multidimensional Scaling）算法基于成对测地距离矩阵，将高维空间中的一组点与初始的距离集合相关联。其步骤如下：
1. 使用图算法（如 Dijkstra 算法）找到图中每对顶点之间的最短距离，将其视为流形上的测地距离。
2. 基于上一步得到的成对测地距离矩阵，训练 MDS 算法。

2.2 Sammon 映射

Sammon 映射是最早的非线性降维算法之一。与传统的降维方法（如 PCA）不同，它不直接定义数据转换函数，而是确定转换结果（低维数据集）与原始数据集结构的匹配程度。具体来说，它通过最小化误差函数来寻找与原始数据集结构尽可能接近的低维数据集。误差函数的最小化采用 Newton 最小化方法，公式简化如下：（此处原文未给出具体公式），其中 η 是学习率。

2.3 分布式随机邻域嵌入（t - SNE）

随机邻域嵌入（SNE）旨在将高维数据转换为二维或三维空间中的新变量，以最大程度地保留原始数据的结构和模式。t - SNE 是对经典 SNE 的改进，主要修改是在低维数据中用 Student’s t 分布代替正态分布，简化了寻找全局最小值的过程。
1. 转换距离为条件概率