网络流之最大流

含义

这里就不详细解释网络流的含义了。

最大流解决的是从源点到汇点所能传送的最大容量。

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算法分析

类似于这个图，我们要求从源点s到汇点t的最大容量。

我们可以先选择从s-a-b-t这条路，这条路称为增广路，此时的容量为100，但实际我们可观测到最大容量为200。那么我们只需要在上一次增广路所经过的路径减去minzg，同时在反方向增加容量minzg，这样就可找到第二条增广路。

经过的不断寻找增广路，直至无法再找到新的增广路为止。图会变成这样。

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算法实现

那么如何实现呢，以POJ 1273为例。

以下是EK算法实现。每次在当前图情况下寻找是否有从源点到汇点的路径，有就更新正向路径和方向路径容量，只到再也找不到增广路为止

#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=200007;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int r[maxn][maxn];
int pre[maxn];
bool visit[maxn];
int m,n;
bool bfs(int s,int t)//利用BFS找到是否有从源点到汇点的路
{
    int p;
    queue<int>q;
    memset(pre,-1,sizeof(pre));
    memset(visit,false,sizeof(visit));
    pre[s]=s;
    visit[s]=true;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        p=q.front();
        q.pop();
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(r[p][i]>0&&!visit[i])
            {
                pre[i]=p;
                visit[i]=true;
                if(i==t)
                    return true;
                q.push(i);
            }
        }
    }
    return false;
}
int EK(int s,int t)
{
    int flow=0,d,i;
    while(bfs(s,t))
    {
        d=inf;
        for(i=t;i!=s;i=pre[i])//找到增广路经中流量最小的
            d=d<r[pre[i]][i]?d:r[pre[i]][i];
        for(i=t;i!=s;i=pre[i])//更新正向路径和反向路径
        {
            r[pre[i]][i]-=d;
            r[i][pre[i]]+=d;
        }
        flow+=d;//每次取的容量
    }
    return flow;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&m,&n))
    {
        int u,v,w;
        memset(r,0,sizeof(r));
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            r[u][v]+=w;
        }
        printf("%d\n",EK(1,n));
    }
    return 0;
}