乘法逆元

最新推荐文章于 2025-02-17 23:38:12 发布

leimingfu

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文章标签：逆元

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/leimingfu/article/details/97259592

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介绍：如果 $ax\equiv 1(mod p)$ ，且gcd(x,y)=1,(a与p互质)，则称a关于模p的乘法逆元为x。

乘法逆元可解决(b/a)%p的问题。

由同余定理知

a*b%m=( (a%m) * (b%m) )%m

则有 a*x*(b/a)%m=( (a*x%m) * ((b/a)%m) )%m=(b/a)%m (x是a的逆元所以a*x%m=1)

故 a*x*(b/a)%m=x*b%m=(b/a)%m

所以原式子等于分子乘以分母的逆元再对m取模。

1.拓展欧几里得算法求逆元

$ax\equiv 1(mod p)$ 等价于ax-py=1，可写为ax+by=1.于是问题等价于求一组x0，y0，并验证GCD（a，b）=1 。可用拓展欧几里得算法解决。

typedef long long ll;
int Extended_GCD(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int gcd=Extened_GCD(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return gcd;
}

int inv(int a,int mod)
{
    ll x,y;
    ll d=Extended_GCD(a,mod,x,y);//判断a,b是否互质，即gcd(a,b)=1
    return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}

2.费马小定理求逆元

费马小定理：若 $gcd(a,p)\equiv 1$ ，则 $a^{p-1}\equiv 1(mod\: p)$ ，即 $a*a^{^{p-2}}\equiv 1(mod\: p)$ 。

所以a的逆元就是 $a^{^{p-2}}$ ，可用快速幂算法求出。

typedef long long ll;
ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod)
{
    int res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            res=(res*x)%mod;
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
ll inv(ll a,ll mod)
{
    return mod_pow(a,mod-2,mod);
}