【算法导论笔记】最小生成树

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本文探讨了最小生成树的概念及其在图论中的重要性，详细介绍了Kruskal算法和Prim算法，阐述了使用普通二叉堆和斐波那契堆在算法效率上的差异，并通过实例说明了算法的应用。

在一个连通的无向图G=(V,E)中，找到一个无环子集T（是E的子集），既能够将所有的结点连接起来，又具有最小的权重，这时的T便成为最小生成树。

解决最小生成树的两个常用算法为：Kruskal算法和Prim算法。如果使用普通的二叉堆，这两个算法的时间复杂度最小为O(ElgV)。但如果使用斐波那契堆，Prim算法的时间复杂度将改善为O(E+VlgV)。

基本策略

GENERIC-MAT(G, w)
  A = Empty
  while A does not form a spanning tree
  	  find an edge(u, v)that is safe for A
  	  A = A ∪ {(u, v)}
  return A

Krushkal 算法

MST-KRUSKAL(G, w)
  A = Empty
  for each vertex v∈G.V
  	  MAKE-SET(v)
  sort the edges of G.E into nondecreasing order by weight w
  for each edge(u,v)∈G.E, taken in nondecreasing order by weight
  	  if FIND-SET(u) ≠ FIND-SET(v)
  	  	  A = A ∪ {(u, v)}
  	  	  UNION(u, v)
  return A

Prim 算法

MST-PRIM(G, w, r)
  for each u∈G.V
  	  u.key = ∞
  	  u.π = NIL
  r.key = 0
  Q = G.V
  while Q ≠ Empty
  	  u = EXTRACT-MIN(Q)
  	  for each v∈G.Adj[u]
  	    if v∈Q and w(u, v) < v.key
  	    	v.π = u
  	        v.key = w(u, v)