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代数结构与数理逻辑
2024春
李直旭
第十三章 群
代数结构预备知识
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代数系统
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运算：一元运算、二元运算、n元运算
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运算性质：封闭性、结合律、交换律
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单位元：单位元存在则必唯一
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逆元：任一元素的逆元存在则必唯一
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零元：左右零元相等；零元若存在则必唯一
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代数系统：
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载集
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同态、同构与商系统
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同态
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同态映射、满同态映射、同态
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同态定理：两个同态的代数系统，在结合律、交换律、单位元、零元、逆元方面在存在性上对等
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同构
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同构、同构映射
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同态或同构的证明思路：
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找到一个满同态或同构映射
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要证明不同态或不同构则要证明所以S到T的映射都不是满同态（同构映射）
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商结构
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相容等价关系
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商结构（商系统）
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半群、拟群与群
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群的相关定义
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半群：结合律
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拟群（含单位元半群）：有单位元
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群：每个元素均有逆元
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交换群（Abel群）：交换律
证明有单位元或逆元的思路：假设存在并解方程，若可解出即证明存在，否则不存在
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阶、有限群、无限群
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群的相关定理：
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在群中：(a_1*\cdots *a_n)^{-1}=a_n^{-1}*\cdots *a_1^{-1}
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a^m*a^n=a^{m+n},(a^m)^n=a^{mn}
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消去律：对群满足
ac=bc\rightarrow a=b
ca=cb\rightarrow a=b
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群的充要条件：
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半群G是群，当且仅当：G中任意元素存在左单位元与左逆元
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半群G是群，当且仅当：\forall a,b\in G,\exists x,y\in G,ax=b,ya=b
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有限半群，当且仅当：满足消去律
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变换群、置换群与循环群
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变换群
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变换、一一变换
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S^S（S到S所有映射全体组成的集合）：是半群，是拟群，但不是群
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T(S)（S上所有一一变换组成的集合）：是群
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变换群：T(S)的子集若为群，则称为变换群。T(S)本身也是变换群
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置换群
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置换群相关定义：
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置换：有限集上的一个一一变换
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置换群：置换构成的群
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n次对称群
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循环置换、对换
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任一置换均可分解为若干循环置换的乘积，或者对换的乘积
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奇置换、偶置换
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分解不唯一，但是奇置换与偶置换唯一：长度为k的循环置换，k为奇数时为偶置换、k为偶数时是一个奇置换
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奇、偶置换在乘法运算后的奇偶性与自然数的加法类似
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n次交代群：对称群S_n所有偶置换组成的集合A_n关于置换的乘法构成群
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循环群
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循环群相关定义：
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元素的阶、n阶元、无限阶元
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循环群、生成元、有限阶元、无限阶元
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相关定理：
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群中元素a的阶为n，则a^p=e,n|p
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循环群的结构完全由其中的生成元决定
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循环群生成元的阶与循环群的结构关联：无限阶时同构于加法循环群Z，阶为n时同构于同余类加法循环群Z_n
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子群、正规子群、商群
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子群
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相关定义：子群、平凡子群、真子群
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相关定理
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子群的充要条件：在该子集满足封闭性，其中任一元素的逆元也在其中
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子群的充要条件：子集H中任两个元素a,b，a\cdot b^{-1}\in H
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子群的充要条件：对于有限子集，仅需满足封闭性即为子群
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群的单位元和子群的单位元相同，元素的逆元也相同
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陪集
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陪集相关定义
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陪集、左陪集、右陪集
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子群在群中的指数：不同的左（右）陪集数
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陪集相关定理：
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有限阶子群的陪集间阶相等
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子群的两个左（右）陪集，要么相等，要么不相交
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群的任一子群的所有左（右）陪集构成群的一个划分
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拉格朗日定理：子群的阶可以整除群的阶，且商即为指数
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阶为素数的有限群为循环群
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正规子群
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正规子群相关定义：
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正规子群（不变子群）：对任一元素的左右陪集相等
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正规子群相关定理：
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证明H为群G的子群且正规的充要条件：\forall g\in G,h\in H,g^{-1}hg\in H
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商群
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商集合、商集合上的二元运算
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商群
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商群的定义
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商群是群
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群同态与同态基本定理
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群同态相关定义：群同态、同构、同态核与同态象
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群同态相关定理：
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Cayley（凯莱）定理：任一有限群必同构于一个同阶的置换群
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群同态于它的任一商群
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群G与群G‘存在同态映射\varphi，则G关于同态核的商群与同态象同构；若映射\varphi为满射，则G关于同态核的商群与G’同构
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同态基本定理（在证明某商群与另一个群同构时通过此定理构造）
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\varphi为G到G'的同态映射，则\varphi(e)一定为G'的单位元
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同态核为G的正规子群
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\varphi为一一映射，当且仅当K={e_G}
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\varphi(G)为G‘的子群
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第十四章 环
环的定义与性质
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环的定义
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环：第一个运算（通常叫做加法+）为可交换群，第二个运算（通常叫做乘法*）满足结合律与分配律
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有单位元环、交换环、无零因子环
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环的零元，环的单位元
任何环的修饰都是对于第二个运算而言，其中环的零元与第一个运算和第二个运算都有关系，环的单位元只与第二个运算有关系
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零因子、左零因子、右零因子
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整环（有单位元环+交换环+无零因子环 均满足）、除环（有单位元，非零元有逆--蕴含无零因子这一性质）
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零环：只有一个元素的整环R=\{0\}
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环不为零环时，环的单位元与零元不同
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域（整环加非零元有逆 或 除环加可交换）
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左零因子、右零因子、零因子、单位元
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环的性质：
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基本运算法则
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a*0=0*a=0
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a*(-b)=(-a)*b=-(a*b)
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整环：乘法满足消去律
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子环与环同态
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子环
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子环的概念：子环、真子环、平凡子环
证明子环的充要条件：\forall a,b\in S满足：
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a+b\in S
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-a\in S
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a\cdot b\in S
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环的中心
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环的中心的概念：R为环，C=\{x|x\in R,\forall a\in R,a\cdot x=x\cdot a \}，则C为环R的中心
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环的中心是环的子环
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单位子环
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单位子环的定义：对有单位元环R，E=\{ne|n\in Z\}称为R的单位子环
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单位子环的性质：当|E|\lt +\infty，必有m,n\in Z,m\ne n，使me=ne,(m-n)e=0
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环的特征数
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特征数的定义：使ke=0的最小正整数k称为环的特征数，一般表示为p。若不存在这样的k，则称该环的特征数为0。charR表示环R的特征数
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特征数的性质：
p为有单位元环R的特征数
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\forall a\in R,pa=0。当R为整环时，满足ka=0的正整数k中最小的便是p
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R为整环时，特征数为素数或为0
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环同态
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环同态的定义：同态映射、环同态、环同构、自同态、自同构
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环同态的性质
\varphi 是环R到R’的同态映射，则
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\varphi(0)=0'，0与0‘分别为加法单位元
此处是不是不一定需要是零元，故强调是加法单位元？
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若R与R’均为有单位元环，\varphi(e)=e'，需满足下两个条件之一：
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\varphi是满同态
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R'无零因子，且\varphi不是零同态（零同态指所有元素在\varphi下的象都是0‘）
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\varphi(R)\subseteq R'必为R’的子环
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环同态相关定理：对整环R，char(R)=p，作映射\varphi:R\rightarrow R
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\forall a\in R，\varphi(a)=a^p是R的一个同态映射
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当a\ne b时，\varphi(a)\ne \varphi(b)
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环同构的性质
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R为整环或除环或域时，R‘也为整环或除环或域
不能推广到两个环同态的情况
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多项式环
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多项式环的相关定义
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多项式环的定义：在域F上定义多项式F[x]=\{\sum\limits^n_{i=0}a_ix^i|0\le i\le n,a_i\in F\}。F[x]关于多项式的乘法与加法构成整环，称F[x]为域上的多项式环
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多项式的次数
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整除、因子、商、余数
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公因子、最大公因子（f(x),g(x)的最大公因子表示为GCD(f(x),g(x))）
最大公因子通过长除法得到
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可逆元、不可逆元
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可约多项式、不可约多项式
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多项式环的相关定理
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对f(x)\in F[x],g(x)\in F[x],g(x)\ne 0，存在唯一q(x),r(x)\in F[x],deg\,r(x)\lt deg\,g(x)或r(x)=0，使得：f(x)=g(x)q(x)+r(x)
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f(x)\in F[x],a\in F,(x-a)|f(x)，当且仅当f(a)=0
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最大公因子不唯一，相互之间满足g_1(x)=ag_2(x),a\in F^*
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当f(x),g(x),h(x)\in F[x],f(x)|g(x)h(x),GCD(f(x),g(x))=a\in F^*时，有f(x)|h(x)
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p(x)\in F[x]为不可约多项式，f(x),g(x)\in F[x]，若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)
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理想与商环
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理想
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理想的定义
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理想、真理想、平凡理想
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主理想；主理想环
由环中子集S生成的理想(S)：
S\ne \varnothing , S\subseteq R，(S)为满足以下条件的最小子集：
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若a\in S，则a\in (S)
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a,b\in (S)，则a-b\in (S)
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a\in (S).r\in R，则a*r,r*a\in (S)
特别地，当S=\{a\}时，(S)即为由a生成的理想
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理想的性质
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域F上的多项式环F[x]是主理想环
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商环
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商环的定义：设[I;+,*]为环[R;+,*]的理想,称[R/I;\oplus,\otimes]为环[R;+,*]关于理想I的商环,简记为R/I或R-I。
针对第一个运算，环的理想是环的正规子群
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商环的性质
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商环是环
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环同态基本定理
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\varphi:R\rightarrow S是满同态映射，同态核K=Ker \varphi，则R/K\cong S
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与群同态类似，有矢量三角形关系图：
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R满同态于\varphi(R)
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R自然同态于R/K
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R/K同构于\varphi(R)
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多项式环的商环是域的充要条件：F[x]是域F上的多项式环，商环F[x]/(p(x))是域，当且仅当p(x)是F[x]上的不可约多项式
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Z_p=Z/(p)为域的充要条件：p为素数
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对R为有单位元交换环（不为零环），R为域的充要条件：R只有平凡理想\{0\}与R
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第十五章 域
扩域
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扩域的定义
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子域、扩域、域的扩张
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作为线性空间：扩张次数、有限扩张（n次扩张）、无限扩张
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单扩域
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扩域的相关定理
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扩域是域上的线性空间
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多项式环商环的扩张次数：F为域，p(x)为F[x]中的不可约多项式，deg\,p(x)=n，令K=F[x/(p(x))]，则[K:F]=deg\,p(x)=n
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扩张次数的传递：[L:F]=[L:K][K:F]
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素域
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素域的定义：没有真子域的域称为素域
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相关定理
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设[F;+,\cdot]为域，则[F;+]中的非零元同阶
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当K为F的扩域时，charK=charF
本质是域和它的扩域单位元相同
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域中必包含一个素子域：
F为域，必存在一个素子域\Delta
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charF=0时，\Delta\cong Q
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charF=p时，\Delta\cong Z_p
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代数元与根域
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代数元
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相关定义：代数元、超越元
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极小多项式
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极小多项式定义
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极小多项式的性质：
\alpha为F之代数元，p(x)为其在F上的极小多项式
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极小多项式不可约
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若f(x)\in F[x],f(\alpha)=0，则p(x)|f(x)
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对于任一代数元，极小多项式唯一
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证明是极小多项式：
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首项系数为1
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在F上不可约
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p(\alpha)=0
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代数扩域
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相关定义：代数扩域、最小代数扩域、单代数扩域
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相关定理：
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\alpha为域F上的代数元，p(x)\in F[x]为\alpha在F上的极小多项式，deg\,p(x)=n\gt 1，则
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F(\alpha)\cong F[x]/(p(x))
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F(\alpha)中的元素可唯一表示为a_0+a_1\alpha+\dots+a_{n-1}\alpha^{n-1}，其中a_i\in F,0\le i\le n-1
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域上具有相同极小多项式的两个代数元形成的两个单代数扩域同构
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相互同构的两个域上的两个代数元，对应的极小多项式系数一一满足同构映射，则这两个域关于各自那个代数元形成的单代数扩域同构
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多项式根域
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多项式根域的定义
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设p(x)是域F上的不可约多项式, 则存在F的一个有限扩域K，p(x)在K中有根
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如果f(x)是域F上的多项式, deg f(x)³1,那么存在F的一个扩域K,在K中f(x)分解成一些一次因式的乘积
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设\varphi是域F到域F'的同构映射，对于F上的多项式f(x)=a_0+a_1 x+…+a_nx^n，有F'上的多项式f'(x)=a'0+a'_1x+…+a'_nx^n，这里a'_i =\varphi(a_i)(i=0,1,2,…,n)。N和N'分别是f(x)和f'(x)根域，则N和N'同构
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有限域
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伽罗瓦（Galois）域相关定义
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伽罗瓦域（有限域）：元素有限的域
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p^m阶伽罗瓦域（GF(p^m)）：具有p^m个元素的有限域（p为素数，m\ge 1）
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形式微商
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伽罗瓦域相关定理
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F为有限域，则存在素数p，自然数m\ge 1，使|F|=p^m
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设char F=p，D为F的素域，|F|=p^m，则F是x^q-x在D上的根域，其中q=p^m
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有限域中任一元在其所含素域上均有一个极小多项式
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两个同阶的伽罗瓦域同构
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f(x)\in F(x),a是f(x)的根,则a是f(x)的重根,当且仅当在f(x)根域上(x-a)|f'(x),其中f'(x)是f(x)的形式微商
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Z_p[x]中的多项式x^q-x(这里q=p^n)在其根域N上分解为q个不同的一次因式之积
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设p为素数,n\ge 1为自然数,q=p^n,则多项式x^q-x在Z_p上的根域是一个阶为p^n的伽罗瓦域
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GF(p^m)中的元素恰为多项式x^{p^m}-x\in Z_p[x]的p^m个根
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本原元与本原多项式
伽罗瓦域GF(p^m)可以看作Z_p上的m维线性空间，通过本原元与本原多项式简化其上的乘法运算
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本原元的前置定理
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[G;*]为交换群。a,b\in G,分别以n和m为阶, 则存在c\in G,其阶为m与n之最小公倍数[n, m]
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[G;*]为交换群,a\in G是其中阶最大元,设其阶为n。则任一x\in G的阶可整除n
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GF(p^m)中非零元全体关于乘法构成循环群
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本原元的定义：伽罗瓦域非零元全体构成的循环群中的生成元
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本原多项式的定义：g(x)\in Z_p,deg\,g(x)=m，且g(x)不可约。当k=p^m-1时g(x)|(x^k-1)，当k\lt p^m-1时g(x)不能整除(x^k-1)。称g(x)为Z_p上的本原多项式
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g(x)\in Z_p是不可约多项式，它是本原多项式的充要条件是：g(x)的所有根x都是Z_p[x]/(g(x))=GF(p^m)的本原元
第十六章 格与布尔代数
偏序与格
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格的一般概念
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偏序集与全序
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格
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覆盖、链、离散
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完全格
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\land ：积（或交），\lor：和（或并）
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子格
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格的相关定理
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定理16.1：
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\forall a, b \in L, a\le a\lor b, a\ge a\land b
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a\le b的充要条件：a\lor b = b
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a\ge b的充要条件：a\land b = b
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定理16.2：
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幂等律、交换律、结合律、吸收律（分别成为 L_1,L_2,L_3,L_4）
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定理16.3：
联系代数系统与格
对一个代数系统[L;\lor, \land]，\lor , \land 满足L_1到L_2，在L上定义二元关系\le：\forall a,b\in L,a\le b当且仅当a\lor b = b，则[L;\le]为偏序集
[L;\lor, \land ]为格
-
定理16.4：
保序性
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格的同态与同构
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同态、同构
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自同态
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定理16.5：
同态映射同时是保序映射
-
定理16.6：
\varphi为格L到格S的一一映射，则其为同构映射，当且仅当：\forall a, b\in L, a\le b, \varphi(a)\le \varphi(b)
-
定理16.7：
对偶原理
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有补格与分配格
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有界格
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有界格的定义
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定理16.8：有界格L种，\forall a \in L, a\lor 1 = 1, a\land 1 = a, a\lor 0 = a, a\land 0= 0
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-
有补格与分配格的定义
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补元、有补格
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分配格
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分配格的相关定理
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对任意格满足分配律
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定理16.9：
判断分配格的四种等价条件
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布尔格与布尔代数
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布尔格、布尔代数
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相关定理
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定理16.10：
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补元唯一
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(a\lor b)' = a'\land b', (a\land b)'= a'\lor b'
-
a\land b = 0, a\le b'
-
-
定理16.11：
布尔代数的判断
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重要结论
-
任意一个有限布尔代数必为2^n(n\ge 1)元的
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且对任一自然数n\ge 1，必定可以找到一个布尔代数B使得|B| = 2^n
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任意一个2^n元的布尔代数都同构于[B;\lor, \land , ']
-
-
-
布尔环相关定义
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布尔代数上定义新运算“+“，“\cdot”
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布尔环
-
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布尔环相关定理
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定理16.12：布尔环满足幂等律
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第十七章 数理逻辑预备知识
命题和联结词
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命题、原子命题、命题的值
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命题符号化
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联结词
五个常见联结词
-
非：\neg
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合取：\land
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析取：\lor
-
蕴含：\rightarrow
-
等价：\leftrightarrow
-
泛代数
-
相关定义
-
T类型
-
T代数、n元T代数运算
-
T子代数、最小子代数、生成的子代数
-
-
相关定理
-
定义17.3：两个T代数相等的充要条件、
课件中就是“定义”
-
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