哋它亢：概率论期末复习（一）

概率论与数理统计

基于《概率论基础》李贤平

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第一章 事件与概率

本章首先明确了概率论中的两个重要的基础概念：“事件”与“概率”。接着介绍了两种重要的概率模型：“古典概型”与“几何概型”。最后，给出了现代概率论的公理化结构“概率空间”（本质是一种代数结构）：由“事件域”与“概率率”构成。针对事件域，有\sigma域的定义。为了在现代概率论视角下讨论，课堂上还引入了诸多测度论相关知识。

在《概率导论》中，则讨论了“离散模型”与“连续模型”两种概率模型。其中，离散模型是在概率公理的基础上定义“离散概率率”构成，若添加“离散均匀概率率”，则构成了“古典概型”。

原目录为

1. 随机现象与统计规律性

2. 样本空间与事件

3. 古典概型

4. 几何概率

5. 概率空间

为了更好地符合现代概率论视角，调整为

1. 随机现象与统计规律性

2. 样本空间与事件

3. 概率空间

4. 离散模型

5. 连续模型

随机现象与统计规律性

随机现象

• 决定性事件

  • 必然事件

  • 不可能事件

• 随机现象：一些试验时而产生这样的结果，时而产生那样的结果

  • 随机事件（简称事件）：随机现象不知是否会出现的某个结果

频率稳定性

• 频率的概念

• 统计规律性

• 概率的概念

频率与概率

• 频率的可加性

• 当试验次数足够大时，可将频率看做概率的近似

样本空间与事件

样本空间

• 样本点、样本空间

事件

• 事件的概念

• 事件的运算

  • 包含：\subset

  • 等价（或等于）：=

  • 逆事件（对立事件）

  • 事件的交（\cap）与并（\cup）、互不相容

  • 事件的减（-）

• 对偶原理（德摩根定理）

• 有限样本空间、离散样本空间（可列个样本点）

古典概型

几何概率

概率空间

概率公理

概率拥有如下三种性质：

• 非负性：概率大于等于0

• 可加性：互不相容的事件的并的概率等于各事件概率之和

• 归一化：P(\Omega) = 1

第二章 条件概率与概率独立性

条件概率、全概率公式、贝叶斯公式

事件独立性

伯努利试验与直线上的随机游动

二项分布与随机分布

第三章 随机变量与分布函数

随机变量及其分布

随机向量、随机变量的独立性

随机变量的函数及其分布