T检验

单总体检验：
当总体分布是正态分布，如总体标准差未知且样本容量小于30，那么样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t分布

设总体共有N个元素，从中随机抽取一个容量为n的样本，在重置抽样时，共有$N^n$种抽法，即可以组成 $N^n$不同的样本，在不重复抽样时，共有$C_N^n$个可能的样本。每一个样本都可以计算出一个均值，这些所有可能的抽样均值形成的分布就是样本均值的分布。但现实中不可能将所有的样本都抽取出来，因此，样本均值的概率分布实际上是一种理论分布

样本均值的抽样分布是所有的样本均值形成的分布，即μ的概率分布。样本均值的抽样分布在形状上却是对称的。随着样本量n的增大，不论原来的总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于正态分布，其分布的数学期望为总体均值μ，方差为总体方差的1/n。这就是中心极限定理（central limit theorem）。
当总体服从正态分布时，样本均值一定服从正态分布，即有X~N( )时，
若总体为未知的非正态分布时，只要样本容量 n足够大(通常要求n ≥30),样本均值仍会接近正态分布。样本分布的期望值为总体均值，样本方差为总体方差的1/n 。这就是统计上著名的中心极限定理。该定理可以表述为：从均值为μ、方差为σ^2（有限）的总体中，抽取样本量为n的随机样本，当n充分大时(通常要求n ≥30)，样本均值的分布近似服从均值为μ ,方差为σ^2/n 的正态分布。
如果总体不是正态分布，当n为小样本时(通常n<30)，样本均值的分布则不服从正态分布，服从t分布。

$$t=\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{{\sigma }_X}{\sqrt{n-1}}}$$

t分布比较均值

单样本T检验

设计思想：
单样本T检验的设计模式如下：已知一个总体B，现在在一个未知的总体A中随机抽取了一个已知的样本C，而所问的问题是，总体A与总体B之间有无差异？

总体方差未知，关于均值的检验

设样本$x_1,x_2,\cdots ,x_{n_1}$来自正态总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$，且总体方差${\sigma }^2$未知。在这种情况下，用样本方差$s^2$代替${\sigma }^2$，则此时关于总体均值$\mu$的检验为：
$$t=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$$
当$\mu ={\mu }_0$时，根据抽样分布理论，统计量$t$服从$t(n-1)$

---

独立样本T检验

设计思想：
独立样本T检验的设计模式如下：在两个未知的总体中分别抽取一个样本，然后比较两个总体之间是否有差异。

双样本等方差检验

设样本$x_1,x_2,\cdots ,x_{n_1}$来自正态总体$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$y_1,y_2,\cdots ,y_{n_2}$来自正态总体，且两个总体方差${\sigma }_1^2$和${\sigma }_2^2$未知但相等，即${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$，则此时关于双样本均值差检验为：
$$t=\frac{\overline{x}-\overline{y}-d_0}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$$$$s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}$$
当${\mu }_1-{\mu }_2=d_0$时，$t$服从$t(n_1+n_2-2)$

双样本异方差检验

设样本$x_1,x_2,\cdots ,x_{n_1}$来自正态总体$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$y_1,y_2,\cdots ,y_{n_2}$来自正态总体，且两个总体方差${\sigma }_1^2$和${\sigma }_2^2$未知且不相等，则此时关于双样本均值差检验为：
$$t=\frac{\overline{x}-\overline{y}-d_0}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$$
$$f=\frac{(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}{)}^2}{\frac{(\frac{s_1^2}{n_1}{)}^2}{n_1-1}+\frac{(\frac{s_2^2}{n_2}{)}^2}{n_2-1}}$$
当${\mu }_1-{\mu }_2=d_0$时，$t$服从自由度为$f$的$t$分布

配对样本T检验

设计思想：
配对样本T检验的设计模式如下：配对的两组数据相减，变成一组数据，然后去和已知总体0比较，其实就是转化为单样本T检验做的

配对的对象针对的是同一个对象，比如一个人，治疗前与治疗后

平均值的成对二样本分析

成对观测值的$t$检验常用于两组数据均值是否相等的均值检验。
成对观测的样本以$d_1,d_2,\cdots ,d_n$表示$n$对观测值之差，则此时关于双样本均值差检验为：
$$t=\frac{\overline{d}-d_0}{s_d/\sqrt{n}}$$
当${\mu }_1-{\mu }_2=d_0$时，$t$服从$t(n-1)$分布