Prim算法 Kruskal算法

最新推荐文章于 2024-12-04 10:45:00 发布

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本文详细介绍了两种经典的最小生成树算法——Prim算法和Kruskal算法。Prim算法通过贪心策略逐步构建树，每次选择离现有树最近的顶点；而Kruskal算法则按边的权重从小到大排序，逐个考虑是否添加到树中，避免形成环路。两种算法各有优劣，适用于不同场景。

一、Prim算法
1、要求：
（1）生成一颗连通的树
（2）生成树：包含全部顶点，V-1条边，没有回路，并且添加一条边会变成有回路
（3）权重和最小
2、过程模拟
最重要：贪心的思想，每一步都要选择权值最小的，这棵树所有跟顶点相连的边中最小的。从根节点开始，让树慢慢的长大。
过程：
这里写图片描述

从v1开始
这里写图片描述

跟v1有联系的是4，2，1，选择1，所以到了v4
这里写图片描述

现在可以选择的边有，跟v1相连接的4，2，跟v4连接的2，8，4，7，3，选择最小的2，选哪个都可以，这里选v2
这里写图片描述

现在有三个顶点了，v1有4，v2有10，v4有2，8，4，7，选择2，所以从v4连到v3
这里写图片描述
一直这样做，直到所有顶点访问完
3、思想
每次应该选择哪条边？用dist[]数组来解决。dist[]保存每个树外边的顶点vi到树顶点的集合V的最小的距离，还是用图演示。先从v1开始，树里边只有v1，所以各个顶点到树最短的距离dist[i]，就是我们看到的4，1，2，还有一些没有连接上的（用无穷大表示）
这里写图片描述

接着把v4收进去，那么比如说v3到树的距离，就要更新，原来它到树的最短距离是4（就是到v1的距离），现在dist[3]变得更短了，变成了2（到v4最近）
这里写图片描述
就这样每次都更新出这个时刻，每个顶点跟树最近的距离，然后在这里距离中选取最短的那个边，把这个边上的顶点收进去

//不要看这个，这个是我的思路，估计只有我能看懂
从v0开始寻找
for(){
记录所有不是树的顶点到v0的距离
}
创建一个邻接表LGraph来保存树
while（1）{
//找这些跟树有关系的顶点中的最小的边
i=findMinDist_matric();
找不到 break 
InsertEdge();//找到就把边插进链表里
更新权值和、顶点是否访问、已收录顶点的信息

for(遍历每一个顶点){
    if（没有被访问，还有边）{
        if(是否因为加入了一个结点，这个顶点更近树了){
        更新dist
        更新跟谁连接使他更近树了
        }
    }
}
}

if（所有的点都访问了）{
输出权值和
}else{
不是树
}

4、代码

/*作用：邻接矩阵最小生成树
使用变量：用dist[]来描述树外边的顶点到树的最短距离、用 Vcount刻画收录了多少个顶点、
用parent[]描述，树外边的顶点到这棵树哪个顶点最近
更新：每次访问完一个结点，Vcount，dist[]，parent都要更新*/
LGraph Prim_matric(MGraph Graph){
    LGraph MST;
    weightType dist[MaxVertexNum],totalWeight=0;
    Vertex parent[MaxVertexNum],i,j;
    int Vcount=0;//开始没有收录任何顶点
    Edge E;

    //初始化，从0这个顶点开始访问
    for(i=0;i<Graph->nv;i++){
        dist[i]=Graph->G[0][i];
        parent[i]=0;
    }
    dist[0]=0;//访问过的顶点，到这棵树的距离为0
    Vcount++;
    parent[0]=-1;//等于-1的是树根

    //用邻接表来承接树的信息
    //创建一个有顶点但是没有边的邻接表
    MST=CreateGraph_adjacencyList(Graph->nv);
    E=(Edge)malloc(sizeof(struct ENode));

    //一直遍历完所有的结点
    while(1){
        //寻找树外的结点到树的最短距离
        i=findMinDist_matric(Graph,dist);
        if(i==ERROR)
            break;
        E->v1=parent[i];
        E->v2=i;//连过去的结点
        E->weight=dist[i];
        InsertEdge_adjacencyList(MST,E);
        totalWeight+=dist[i];
        dist[i]=0;//标记成访问过
        Vcount++;

        //找是否能更新距离
        for(j=0;j<Graph->nv;j++){
            if(dist[j]!=0 &&Graph->G[i][j]<INFINITY){
                //未被收录进树+有边
                if(Graph->G[i][j]<dist[j]){
                    dist[j]=Graph->G[i][j];
                    parent[j]=i;
                }
            }
        }
    }
        if(Vcount<Graph->nv){
            totalWeight=ERROR;
            printf("不是最小生成树\n");
        }
            printf("最小树的权值和%d\n",totalWeight);
            return MST;
}

//寻找最小的权值点
Vertex findMinDist_matric(MGraph Graph,weightType dist[]){
    Vertex Minv,v;
    weightType MinDist=INFINITY;

    for(v=0;v<Graph->nv;v++){
        if(dist[v]!=0 &&dist[v]<MinDist){
            MinDist=dist[v];
            Minv=v;
        }
    }

    if(MinDist<INFINITY)
        return Minv;
    else return ERROR;
}

二、Kruskal算法
1、适用情景：边稀疏的情况
区别Prim：Prim收集的是顶点，Kruskal收集的是边
2、伪代码

viod Kruskal(){
    while(没到v-1条边 && 图中还有边){
        取出权重最小的边，从图中删除这条边（最小堆）
        if（这条边加入树中不构成回路，查并集判断）
            加入边
        else
            扔掉这条边
    }
    if(没有v-1条边)
   Error("不存在生成树");
}

3、代码