Prim算法和Kruskal算法

  Prim算法和Kruskal算法都能从连通图找出最小生成树。区别在于Prim算法是挨个找，而Kruskal是先排序再找。

 

    一、Prim算法：

    Prim算法实现的是找出一个有权重连通图中的最小生成树，即：具有最小权重且连接到所有结点的树。(强调的是树，树是没有回路的)。

    Prim算法是这样来做的： 

    首先以一个结点作为最小生成树的初始结点，然后以迭代的方式找出与最小生成树中各结点权重最小边，并加入到最小生成树中。加入之后如果产生回路则跳过这条边，选择下一个结点。当所有结点都加入到最小生成树中之后，就找出了连通图中的最小生成树了。

 

    Prim算法最小生成树查找过程：

 

 

C语言实现：

 

C代码  

1. #include <stdio.h>  
2. 　　#include <stdlib.h>  
3. 　　#define maxint 1073741824  
4. 　　int main()  
5. 　　{  
6. 　　FILE *input=fopen("input.txt","r"),*out=fopen("output.txt","w");  
7. 　　int n,m,i,j,x,y,w;  
8. 　　fscanf(input,"%d %d",&n,&m);  
9. 　　int map[n][n],E[m][3],tree[m],Mst[n][n];  
10. 　　/*Mst表示最小生成树的邻接矩阵，map是原图，E是边集，其中E[0]和E[1]是边的两个顶点，E[2]是边的权值，tree是用于判断原图的点是否在最小生成树中*/  
11. 　　memset(tree,0,sizeof(tree));  
12. 　　for(i=0; i<n; i++)  
13. 　　{  
14. 　　for(j=0; j<n; j++)  
15. 　　{  
16. 　　map[i][j]=maxint;  
17. 　　Mst[i][j]=maxint;  
18. 　　}  
19. 　　E[i][0]=E[i][1]=maxint;  
20. 　　}  
21. 　　for(i=0; i<m; i++)  
22. 　　{  
23. 　　fscanf(input,"%d %d %d",&x,&y,&w);  
24. 　　if(w<map[x][y])  
25. 　　{  
26. 　　map[x][y]=w;  
27. 　　map[y][x]=w;  
28. 　　}  
29. 　　}  
30. 　　int min=maxint,next=0,now=0,k=0;  
31. 　　tree[0]=1;  
32. 　　for(i=0; i<n; i++)  
33. 　　{  
34. 　　for(j=0; j<n; j++)  
35. 　　{  
36. 　　if(map[now][j]!=maxint && tree[j]==0)  
37. 　　{  
38. 　　E[k][0]=now;  
39. 　　E[k][2]=map[now][j];  
40. 　　E[k++][1]=j;  
41. 　　}  
42. 　　}  
43. 　　for(j=0; j<k; j++)  
44. 　　{  
45. 　　if(E[j][2]<min && tree[E[j][1]]==0)  
46. 　　{  
47. 　　min=E[j][2];  
48. 　　x=E[j][0];  
49. 　　y=E[j][1];  
50. 　　next=y;  
51. 　　}  
52. 　　}  
53. 　　tree[next]=1;  
54. 　　now=next;  
55. 　　Mst[x][y]=map[x][y];  
56. 　　Mst[y][x]=map[y][x];  
57. 　　min=maxint;  
58. 　　}  
59. 　　for(i=0; i<n; i++)  
60. 　　{  
61. 　　for(j=0; j<n; j++)  
62. 　　{  
63. 　　if(Mst[i][j]==maxint) //判断两点是否连通  
64. 　　fprintf(out,"00 "); //美化输出，不必多加探究  
65. 　　else  
66. 　　{  
67. 　　fprintf(out,"%d ",Mst[i][j]); //输出生成树的邻接矩阵，要输出树的自己可以根据邻接矩阵的数据进行加工  
68. 　　}  
69. 　　}  
70. 　　fprintf(out,"\n");  
71. 　　}  
72. 　　fclose(input);  
73. 　　fclose(out);  
74. 　　return 0;  
75. 　　} // 程序未考虑不是连通图的情况，修改很简单，判断生成树的节点数量是否等于原图的节点数量  
76. 　　//如果小于（不会有大于）则本图不是连通图  
77. 　　//其实prim和迪杰斯特拉算法核心有相似之处  

 

 注意：
    　若候选轻边集中的轻边不止一条，可任选其中的一条扩充到T中。
    　连通网的最小生成树不一定是惟一的，但它们的权相等。
【例】在上图(e)中，若选取的轻边是(2，4)而不是(2，1)时，则得到如图(h)所示的另一棵MST。
    
算法特点
    　该算法的特点是当前形成的集合T始终是一棵树。将T中U和TE分别看作红点和红边集，V-U看作蓝点集。算法的每一步均是在连接红、蓝点集的紫边中选择一条轻边扩充进T中。MST性质保证了此边是安全的。T从任意的根r开始，并逐渐生长直至U=V，即T包含了 C中所有的顶点为止。MST性质确保此时的T是G的一棵MST。因为每次添加的边是使树中的权尽可能小，因此这是一种"贪心"的策略。
算法分析
    　该算法的时间复杂度为O(n²)。与图中边数无关，该算法适合于稠密图。

算法演示：

http://sjjp.tjuci.edu.cn/sjjg/DataStructure/DS/web/flashhtml/prim.htm

    二、Kruskal算法：

    Kruskal算法与Prim算法的不同之处在于，Kruskal在找最小生成树结点之前，需要对所有权重边做从小到大排序。将排序好的权重边依次加入到最小生成树中，如果加入时产生回路就跳过这条边，加入下一条边。当所有结点都加入到最小生成树中之后，就找出了最小生成树。

 

C语言实现：

 

C代码  

1. /* Kruskal.c 
2. 　　Copyright (c) 2002, 2006 by ctu_85 
3. 　　All Rights Reserved. 
4. 　　*/  
5. 　　/* I am sorry to say that the situation of unconnected graph is not concerned */  
6. 　　#include "stdio.h"  
7. 　　#define maxver 10  
8. 　　#define maxright 100  
9. 　　int G[maxver][maxver],record=0,touched[maxver][maxver];  
10. 　　int circle=0;  
11. 　　int FindCircle(int,int,int,int);  
12. 　　int main()  
13. 　　{  
14. 　　int path[maxver][2],used[maxver][maxver];  
15. 　　int i,j,k,t,min=maxright,exsit=0;  
16. 　　int v1,v2,num,temp,status=0;  
17. 　　restart:  
18. 　　printf("Please enter the number of vertex(s) in the graph:\n");  
19. 　　scanf("%d",&num);  
20. 　　if(num>maxver||num<0)  
21. 　　{  
22. 　　printf("Error!Please reinput!\n");  
23. 　　goto restart;  
24. 　　}  
25. 　　for(j=0;j<num;j++)  
26. 　　for(k=0;k<num;k++)  
27. 　　{  
28. 　　if(j==k)  
29. 　　{  
30. 　　G[j][k]=maxright;  
31. 　　used[j][k]=1;  
32. 　　touched[j][k]=0;  
33. 　　}  
34. 　　else  
35. 　　if(j<k)  
36. 　　{  
37. 　　re:  
38. 　　printf("Please input the right between vertex %d and vertex %d,if no edge exists please input -1:\n",j+1,k+1);  
39. 　　scanf("%d",&temp);  
40. 　　if(temp>=maxright||temp<-1)  
41. 　　{  
42. 　　printf("Invalid input!\n");  
43. 　　goto re;  
44. 　　}  
45. 　　if(temp==-1)  
46. 　　temp=maxright;  
47. 　　G[j][k]=G[k][j]=temp;  
48. 　　used[j][k]=used[k][j]=0;  
49. 　　touched[j][k]=touched[k][j]=0;  
50. 　　}  
51. 　　}  
52. 　　for(j=0;j<num;j++)  
53. 　　{  
54. 　　path[j][0]=0;  
55. 　　path[j][1]=0;  
56. 　　}  
57. 　　for(j=0;j<num;j++)  
58. 　　{  
59. 　　status=0;  
60. 　　for(k=0;k<num;k++)  
61. 　　if(G[j][k]<maxright)  
62. 　　{  
63. 　　status=1;  
64. 　　break;  
65. 　　}  
66. 　　if(status==0)  
67. 　　break;  
68. 　　}  
69. 　　for(i=0;i<num-1&&status;i++)  
70. 　　{  
71. 　　for(j=0;j<num;j++)  
72. 　　for(k=0;k<num;k++)  
73. 　　if(G[j][k]<min&&!used[j][k])  
74. 　　{  
75. 　　v1=j;  
76. 　　v2=k;  
77. 　　min=G[j][k];  
78. 　　}  
79. 　　if(!used[v1][v2])  
80. 　　{  
81. 　　used[v1][v2]=1;  
82. 　　used[v2][v1]=1;  
83. 　　touched[v1][v2]=1;  
84. 　　touched[v2][v1]=1;  
85. 　　path[0]=v1;  
86. 　　path[1]=v2;  
87. 　　for(t=0;t<record;t++)  
88. 　　FindCircle(path[t][0],path[t][0],num,path[t][0]);  
89. 　　if(circle)  
90. 　　{/*if a circle exsits,roll back*/  
91. 　　circle=0;  
92. 　　i--;  
93. 　　exsit=0;  
94. 　　touched[v1][v2]=0;  
95. 　　touched[v2][v1]=0;  
96. 　　min=maxright;  
97. 　　}  
98. 　　else  
99. 　　{  
100. 　　record++;  
101. 　　min=maxright;  
102. 　　}  
103. 　　}  
104. 　　}  
105. 　　if(!status)  
106. 　　printf("We cannot deal with it because the graph is not connected!\n");  
107. 　　else  
108. 　　{  
109. 　　for(i=0;i<num-1;i++)  
110. 　　printf("Path %d:vertex %d to vertex %d\n",i+1,path[0]+1,path[1]+1);  
111. 　　}  
112. 　　return 1;  
113. 　　}  
114. 　　int FindCircle(int start,int begin,int times,int pre)  
115. 　　{ /* to judge whether a circle is produced*/  
116. 　　int i;  
117. 　　for(i=0;i<times;i++)  
118. 　　if(touched[begin]==1)  
119. 　　{  
120. 　　if(i==start&&pre!=start)  
121. 　　{  
122. 　　circle=1;  
123. 　　return 1;  
124. 　　break;  
125. 　　}  
126. 　　else  
127. 　　if(pre!=i)  
128. 　　FindCircle(start,i,times,begin);  
129. 　　else  
130. 　　continue;  
131. 　　}  
132. 　　return 1;  
133. 　　}  

 

算法描述：克鲁斯卡尔算法需要对图的边进行访问，所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度只和边又关系，可以证明其时间复杂度为O（eloge）。

算法过程：

1.将图各边按照权值进行排序

2.将图遍历一次，找出权值最小的边，（条件：此次找出的边不能和已加入最小生成树集合的边构成环），若符合条件，则加入最小生成树的集合中。不符合条件则继续遍历图，寻找下一个最小权值的边。

3.递归重复步骤1，直到找出n-1条边为止（设图有n个结点，则最小生成树的边数应为n-1条），算法结束。得到的就是此图的最小生成树。

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法因为只与边相关，则适合求稀疏图的最小生成树。而prime算法因为只与顶点有关，所以适合求稠密图的最小生成树。

 无疑，Kruskal算法在效率上要比Prim算法快，因为Kruskal只需要对权重边做一次排序，而Prim算法则需要做多次排序。尽管Prim算法每次做的算法涉及的权重边不一定会涵盖连通图中的所有边，但是随着所使用的排序算法的效率的提高，Kruskal算法和Prim算法之间的差异将会清晰的显性出来。