0010 Pow(x,n)

Pow(x,n)

编号：0010

试题来源：leetcode

题目描述

实现$pow(x,n)$，即计算$x$的$n$次幂

其中$-100.0<x<100.0$

$n$是32位有符号整数，其数值范围是$[-2^{31},2^{31}-1]$，也就是c++中int的取值范围

示例

• 示例1：

  

• 示例2：

• 示例3：

解答算法

递归(我的解法)

算法思路

对于底数$x$来说，有特殊情况$x==1$，此时不用判断$n$直接输出$0$就好。

对于指数$n$来说，当$n==0$的时候，不适用于递归表达式，直接输出$1$就好

对于一般情况来说，$x^n$有两种可能，一种是$n$是奇数，另一种是$n$是偶数，当$n$是偶数的时候，显然$x^n=x^{\frac{n}{2}}\ast x^{\frac{n}{2}}$这里面，显然把$x^{\frac{n}{2}}$利用了两次，这样的话，就相对于逐个递乘减少了一般的工作量；当$n$时偶数的时候，$$x^n=x^{\frac{n}{2}}\ast x^{\frac{n}{2}}\ast x$$只是在之前的基础上多乘了一个x，计算步骤也是很小的。

然后递归的终止条件就是$n==1$，此时，只要返回$x$就好。

当计算$n<0$的时候，我用的是$x^n=\frac{1}{x^{-n}}$，但是这里存在越界的可能，对于$-2^{31}$来说，其相反数$2^{31}$不能用int类型表示，因此我把式子改写成了$x^n=\frac{1}{x^{-n-1}\ast x}$这样就避免了$-n$越界的可能性。

实现代码

class Solution {
public:
    double myPow(double x, int n) {
        if (x == 1)   //当底数为1的时候，直接输出1
            return 1;
        if (n < 0)    //当指数小于0的时候，先转换成指数大于0的情况
            return 1 / (x * myPow(x, -(n + 1)));
        if (n == 0)   //当指数为0的时候，直接输出1
            return 1; 
        if (n == 1)  //当指数为1的时候，递归终止
            return x;
        double result = myPow(x, n / 2);  //递归调用
        if (n % 2 == 0)  //偶数和结束分开讨论
            return result * result;
        if (n % 2 == 1)
            return result * result * x;
        return 0;  //这个是因为程序要求一定要有返回值，所以加上的，无意义
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：每一次递归仅进行了一次操作，一共进行了$logn$次递归，因此时间复杂度$O(logn)$
• 空间复杂度：整个过程中用到的空间是递归用到的栈空间，深度应当是$logn$，因此空间复杂度$O(logn)$

这是我自己第一次两个100%击败，有点意思—__—

递归(官方解答)

算法思路和复杂度分析和我的一样，不列举了。

代码实现

class Solution {
public:
    double quickMul(double x, long long N) {  //指数变成N，避免了溢出问题
        if (N == 0) {  //指数为0的情况
            return 1.0;
        }
        double y = quickMul(x, N / 2);    //递归调用
        return N % 2 == 0 ? y * y : y * y * x;  //这个对奇偶的利用有点简洁
    }

    double myPow(double x, int n) {
        long long N = n;
        return N >= 0 ? quickMul(x, N) : 1.0 / quickMul(x, -N); //对正负的利用
    }
};

三目运算符真好使

迭代(官方解答)

算法思路

迭代思路用到了整数的二进制表示，$n$是一个十进制整数，它一定可以被转化成一个二进制数$i_k{i}_{k-1}\dots i_0$，那么$n=2^{i_0}+2^{i_1}+\dots +2^{i_k}$，因此$x^n=x^{2^{i_0}}\ast \dots \ast x^{2^{i_k}}$，因此只要知道了二进制数，可以求解其对应的$x^n$

代码实现

class Solution {
public:
    double quickMul(double x, long long N) {
        double ans = 1.0;
        // 贡献的初始值为 x
        double x_contribute = x;
        // 在对 N 进行二进制拆分的同时计算答案
        while (N > 0) {
            if (N % 2 == 1) {
                // 如果 N 二进制表示的最低位为 1，那么需要计入贡献
                ans *= x_contribute;
            }
            // 将贡献不断地平方
            x_contribute *= x_contribute;
            // 舍弃 N 二进制表示的最低位，这样我们每次只要判断最低位即可
            N /= 2;
        }
        return ans;
    }

    double myPow(double x, int n) {
        long long N = n;
        return N >= 0 ? quickMul(x, N) : 1.0 / quickMul(x, -N);
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：整个过程中进行了$logn$层循环，因此时间复杂度为$O(logn)$
• 空间复杂度：显然$O(1)$