图论学习笔记（二） 欧拉图和哈密尔顿图

前言：参考教材：《集合论与图论》第三版 屈婉玲，刘捍贫，刘田

第八章 欧拉图和哈密尔顿图

8.1 欧拉图

欧拉通路/回路：通过图中所有边恰好一次的并且行遍所有顶点的通路/回路

欧拉图/半欧拉图：具有欧拉回路/不具有欧拉回路但具有欧拉通路的图

Theorem：（无向欧拉图的判定）如果G是无向连通图，则以下三个命题等价：（1）G是欧拉图（2）G中所有顶点的度数均为偶数（3）G是若干个边不重的圈的并

Theorem：（有向欧拉图的判定）如果D是有向连通图，则以下三个命题等价：（1）D是欧拉图（2）任意v∈V(D)，d+(v)=d-(v)（3）D 为若干个边不重的有向初级回路的并

Theorem：（无向半欧拉图的判定）无向连通图G是半欧拉图当且仅当G中恰好有两个奇度顶点

Theorem：（有向半欧拉图的判定）有向连通图D是半欧拉图当且仅当D中恰好有两个奇度顶点，且一个出度比入度大1，一个入度比出度大1

Proof：对边数进行归纳，把图中的所有圈连接起来

Algorithm：（Fleury）求有/无向欧拉图中的欧拉回路：假设已经走过的边集为E‘，则选取的下一条边应属于E-E‘，并且除非迫不得已，否则不是G-E‘中的桥

Algorithm：（逐步插入法）求有/无向欧拉图中的欧拉回路：归纳构造：在G中每次任意取出一条简单回路

Application：计算机译码：如果有m个字母，要组成所有长度为n的字符串，怎么构造一个长度恰好为m^n的号码盘，使得每次转动一下恰好生成一个新的字符串：
方法：如下构造一个有向图：取所有的长为n的字符串为边，所有的长为n-1的字符串为顶点；一个边从前n-1个字母的字符串指向后n-1个字母的字符串，这样我们转化为取出一个欧拉回路。由于每个点的出入度数显然相同，因此一定存在一个欧拉回路。将这个欧拉回路上的字符串连起来即为所求

8.2 哈密顿图

哈密顿通路/回路：经过图中所有顶点恰好一次的通路/回路(显然无重边=>简单通路)

哈密顿图/半哈密顿图：具有Hamilton回路/不具有哈密顿回路但具有哈密顿通路的图

Theorem（必要条件）：无向图G=<V,E>为Hamilton图，则对于V的任意非空真子集V_1，均有p(G-V_1)≤|V_1|；无向图G=<V,E>为半Hamilton图，若p(G-V_1)≤|V_1|+1

Theorem（充分条件）：n阶无向简单图G若满足任意v_i,v_j，d(v_i)+d(v_j)≥n-1，则G中存在Hamilton通路；如果d(v_i)+d(v_j)≥n，则G中存在Hamilton回路

Proof：极大路径法：先证明极大路径上的顶点构成一个圈，再利用它推出矛盾

Theorem（充分条件）：设D为n阶竞赛图（则n≥3），则D具有Hamilton通路；强连通竞赛图必为Hamilton图

Proof：万能的归纳法

Theorem：K(2k+1)中恰好含有k个无重边 Hamilton回路包含其中的全部边；K(2k)中恰好含有(k-1)个无重边的Hamilton回路包含其中除了k个互不相邻的边以外的所有边

Construction：mod i取点；用K(2k+1)构造K(2k+2)

习题类型：

1.使用Euler定理构造密码盘

2.证明某个图不是Hamilton图（使用唯一的必要条件：去掉若干个顶点后连通分支数量越界）