图论导引 - 第三章第二节：欧拉图 - 11/10

最新推荐文章于 2024-11-13 21:45:50 发布

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如果存在一条包含图 $G$ 中每一条边的封闭的迹 trail，则连通图 $G$ 是欧拉图。这样的迹是一条欧拉迹（Eulerian Trail）。

如果一个图不是欧拉图，但存在一条迹包含图 $G$ 的每一条边，该图 $G$ 是半欧拉图（semi-Eulerian）。

注：半欧拉图中的迹也可以叫欧拉路径，即每条边恰好被遍历一次的路径；而欧拉迹也可以叫欧拉回路。

在这里插入图片描述

欧拉图定义有助于区分不同类型的图在边遍历特性上的差异，在研究图的性质和解决相关问题（如路径规划、网络遍历等）中有重要作用。例如在物流配送路线规划中：

如何找到欧拉图？如何证明一个图是欧拉图？一个图是欧拉图的充分必要条件是什么？

引理6.1：如果图 $G$ 中每个顶点的度数至少为 2，那么图 $G$ 包含一个圈。

证明：

**选择起始顶点：**假设 $G$ 是一个简单图，设 $v_0$ 是 $G$ 的任意一个顶点，选择该顶点 $v_0$ 为起始顶点。
构建路径：从 $v_0$ 开始，沿着边移动到一个相邻顶点 $v_1$ 。由于每个顶点的度数至少为2， $v_1$ 至少有一个除了 $v_0$ 之外的邻居。继续添加邻居，归纳构建一条路径 $v0→v1→v2→⋯v_0\to v_1\to v_2\to\cdots$ ，使得对于所有的 $i$ ， $v_i$ 都与 $v_{i+1}$ 相邻。
检查重复顶点：由于图是有限的，这个过程最终肯定会出现重复顶点。假设 $v_k = v_j$ ( $k > j$ ）。这意味着有一个循环 $vj→vj+1→…→vkv_j\to v_{j+1}\to \ldots\to v_k$

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