image and video processing听课笔记（八）

Planar differential Geometry 平面微分几何
首先，理解平面曲线的表达式

表示每一个取值p都对应到曲线上的一个点C(p)。
和以前学习的函数定义不同，函数(function)表示了一一对应的关系，而曲线(curve)可以是闭合的。
图像变换可以理解把曲线C通过仿射变换到新的曲线，其表达式：

A是一个2*2的矩阵，
如果A不加限制，那么曲线做仿射变换（a general transformation）
如果A的行列式为1

那么曲线做等值仿射变换(Equi-affine)，即（stretch，rotate，translate）面积始终不变。
如果是正交单位化的

那么曲线只做欧几里得变换(rotation and translation)

我们这里讨论的都是线性变换，因为没有对x和y做额外的非线性变换（比如取对数，求平方等），只是乘以一个矩阵。

首先讨论欧几里得变换的情况，现在把曲线C对弧长求导

然后单位化Cp，也就是除以它的模长

这样得到的Cs的模长就是1，转换为内积（多项式）运算表示为

对Cs模长求导结果是常数0，与其他多项式求导一样，可以写成：

消去系数2，该等式可以说明曲线C的单位化一阶导数和二阶导数是垂直的关系（充要条件）

我们称Css的模长为曲率，表示了一阶导数的变化程度，曲率越大，曲线的弯曲程度越大

直线的曲率为0，圆的曲率是常数，且为1/r
为什么要求曲率k，因为它在图像变换的时候可以保持不变，现在提出欧几里得变换的稳定因子：
{S,K(S)}
S是曲线tangent（弧长）的单位化后的取值，K(S)是曲线的曲率
把图像的shape看做是曲线，那么在曲线上的每个点都可以得到一组{S,K(S)}，将这些点描绘出来得到K和S的关系曲线。
现在我们对图像做欧几里得变换，可以发现，同一个点（弧长）的曲率是不变的！

对于更普遍的仿射变换，矩阵A没有正交和单位化的约束，图像I2到I1的转换可以写成

如何定义仿射变换的“S”和“K(S)”呢？
还是从欧几里得变换（旋转）的情况来入手，对弧长的求积分可以写成：

那么整个曲线的长度就是取p定义域内（0~1）所有值的积分

可是，仿射变换时曲线长度也是变化的，等值仿射变换闭合曲线内的面积是不变的，指定为1（之前我们指定欧几里得变换的曲线长度不变，且为1）。
而求面积需要两个向量，Cv和Cvv，V是仿射空间的弧长，通过S求得（后面会提到），Cv和Cvv分别是曲线对V的一阶和二阶导数，通常他们不是垂直的。
这两个向量可以构成一个平行四边形，而其面积正是两向量的叉积。
课程没有详细的解释如下积分的由来（believe it now）通过这个理论过程可以得到欧几里得空间的弧长和仿射空间的弧长的关系。

跟欧几里得空间的证明类似，对两个向量的叉积（等于1）求导结果为0

说明Cvvv和Cv是平行的，它们之间的比率μ则是我们需要的仿射空间的曲率（对比欧几里得空间的曲率，二阶导数的模长）。
我们将代表图像shape的曲线上的点用V和μ的关系描绘出来，可以发现曲率在仿射空间中也是不变的！