0818-求欧拉函数的两种方法

【欧拉函数】在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。

【三性质】

1. 如果ｉ是质数，那么ｐｈｉ［ｉ］＝ｉ－１；
2. 如果ａ　ｍｏｄ　ｂ＝＝０＆＆ｂ是质数，那么ｐｈｉ［ａ＊ｂ］＝ｐｈｉ［ａ］＊ｂ
3. 如果ａ　ｍｏｄ　ｂ！＝０＆＆ｂ是质数，（也就是说ａ，ｂ互质），那么ｐｈｉ［ａ＊ｂ］＝ｐｈｉ［ａ］＊ｐｈｉ［ｂ］

【证明】

性质一：i为质数，显然1~i-1中所有数都与他互质

性质二：

我们知道phi(n)又可以表示成：n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*.....*(1-1/pk)（令p为n的质数幂分解）

显然phi(a*b)=ab*(1-1/p1)*....*(1-1/pk)（令p为n的质数幂分解）

 又因为a是b的倍数，所以上述的p也全是a的质数幂分解

则：phi(a*b)=phi(a)*b；

性质三：

根据欧拉函数的积性可知

（证明见我以前发的博客）

 

方法一：

由上述三性质直接筛

【代码】

/*
特性 :
1.若a为质数,phi[a]=a-1;
2.若a为质数,b mod a=0,phi[a*b]=phi[b]*a
3.若a,b互质,phi[a*b]=phi[a]*phi[b](当a为质数时,if b mod a!=0 ,phi[a*b]=phi[a]*phi[b])
*/
int m[n],phi[n],p[n],nump;
//m[i]标记i是否为素数,0为素数,1不为素数;p是存放素数的数组;nump是当前素数个数;phi[i]为欧拉函数
int make()
{
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!m[i])//i为素
		数
        {
            p[++nump]=i;//将i加入素数数组p中
            phi[i]=i-1;//因为i是素数,由特性得知    
        }    
        for (int j=1;j<=nump&&p[j]*i<n;j++)  //用当前已的到的素数数组p筛,筛去p[j]*i
        {
            m[p[j]*i]=1;//可以确定i*p[j]不是素数 
            if (i%p[j]==0) //看p[j]是否是i的约数,因为素数p[j],等于判断i和p[j]是否互质 
            {
                phi[p[j]*i]=phi[i]*p[j]; //特性2
                break;
            }
            else phi[p[j]*i]=phi[i]*(p[j]-1); //互质,特性3其,p[j]-1就是phi[p[j]]   
        }
    }
}

 

方法二：直接求

//欧拉函数
int phi(int x){
    int ans = x;
    for(int i = 2; i*i <= x; i++){
        if(x % i == 0){
            ans = ans / i * (i-1);
            while(x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    if(x > 1) ans = ans / x * (x-1);
    return ans;
}