平滑值的计算

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已于 2024-07-22 16:39:34 修改

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文章标签：人工智能

于 2024-07-22 16:38:26 首次发布

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平滑值是通过对时间序列数据应用平滑方法来计算的。其目的是减少数据中的噪声，使得长期趋势和模式更为明显。不同的平滑方法有不同的计算方式，但常见的方法包括移动平均和指数平滑。下面是这两种常见平滑方法的详细说明及计算示例。

定义: 移动平均是通过计算一段时间窗口内数据的平均值来平滑时间序列数据。常见的有简单移动平均（SMA）和加权移动平均（WMA）。

计算方法: 对数据进行滑动窗口的平均计算。例如，对于一个窗口大小为 N 的简单移动平均，我们在时间序列的每一个位置上计算前 N 个数据点的平均值。

示例:
假设有一个时间序列数据 [10, 20, 30, 40, 50]，我们使用窗口大小为 3 的简单移动平均来平滑数据：

所以，平滑后的序列为 [20, 30, 40]。

示例:
假设权重为 [0.5, 0.3, 0.2]，窗口大小为 3：

所以，平滑后的序列为 [17, 27, 37]。

指数平滑是时间序列分析中用于平滑数据的一种方法。其核心思想是对时间序列中的数据点给予不同的权重，其中较新的数据点权重较大。指数平滑有多种变体，包括单指数平滑、双指数平滑和三重指数平滑。下面是对这三种指数平滑方法的详细介绍：

原理:
单指数平滑是最基础的指数平滑方法，主要用于没有明显趋势或季节性变化的时间序列数据。其目标是通过平滑因子来减少数据中的噪声，使得数据的长期趋势更加明显。

公式:
$St=α⋅Xt+(1−α)⋅St−1S_t = \alpha \cdot X_t + (1 - \alpha) \cdot S_{t-1}$

解释:

示例:
假设有时间序列数据 [10, 20, 30, 40, 50] 和平滑因子 $α=0.5\alpha = 0.5$ ，初始平滑值 $S_0 = 10$ ：

原理:
双指数平滑扩展了单指数平滑，旨在处理数据中存在的线性趋势。除了平滑值外，双指数平滑还引入了趋势成分，以便捕捉数据的变化趋势。

公式:

解释:

示例:
假设有时间序列数据 [10, 20, 30, 40, 50]， $α=0.5\alpha = 0.5$ 和 $β=0.5\beta = 0.5$ ：

初始平滑值 $S_0 = 10$ 和初始趋势值 $T_0 = 0$
$S1=0.5⋅20+(1−0.5)⋅(10+0)=15S_1 = 0.5 \cdot 20 + (1 - 0.5) \cdot (10 + 0) = 15$
$T1=0.5⋅(15−10)+(1−0.5)⋅0=2.5T_1 = 0.5 \cdot (15 - 10) + (1 - 0.5) \cdot 0 = 2.5$
预测下一个时间步： $F6=15+1⋅2.5=17.5F_6 = 15 + 1 \cdot 2.5 = 17.5$

原理:
三重指数平滑进一步扩展了双指数平滑，以处理时间序列中的季节性成分。除了平滑值和趋势成分外，三重指数平滑还引入了季节性成分。

公式:

平滑值更新：
$St=α⋅(Xt−Ct)+(1−α)⋅(St−1+Tt−1)S_t = \alpha \cdot (X_t - C_t) + (1 - \alpha) \cdot (S_{t-1} + T_{t-1})$
趋势成分更新：
$Tt=β⋅(St−St−1)+(1−β)⋅Tt−1T_t = \beta \cdot (S_t - S_{t-1}) + (1 - \beta) \cdot T_{t-1}$
季节性成分更新：
$Ct=γ⋅(Xt−St)+(1−γ)⋅Ct−sC_t = \gamma \cdot (X_t - S_t) + (1 - \gamma) \cdot C_{t - s}$
其中， $s$ 是季节性周期。
预测值：
$Ft+h=St+h⋅Tt+Ct+h−s⋅⌊h−1s⌋F_{t+h} = S_t + h \cdot T_t + C_{t + h - s \cdot \lfloor \frac{h - 1}{s} \rfloor}$
$α\alpha$ 是平滑因子。
$β\beta$ 是趋势平滑因子。
$γ\gamma$ 是季节性平滑因子，取值范围为 $\gamma < 1$ 。