数论——洛谷 P1445 没占到1444的愤怒

本篇针对洛谷1445题提供详细解析，通过数学转换将原方程转化为更易处理的形式，利用质因数分解及计数原理解决组合数问题。文章介绍了一种基于欧拉筛法的有效算法实现。

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https://www.luogu.org/problem/show?pid=1445
本来想考考fop_zz的，结果他直接A了哇..
大佬题解http://blog.youkuaiyun.com/fop_zz/article/details/73551108
1/x+1/y=1/n!
先通分
(x+y)/xy=1/n!
再化整数
xy-(x+y)*n!=0
然后配平
(n!)^2-(x+y)*n!+xy=(n!)^2
最后
(x-n!)*(y-n!)=(n!)^2

然后我们发现x，y都要是正整数；
所以原题可以变为
A*B=(n!)^2;
当A*B为正整数的时候x,y显然也是正整数；

然后我们考虑x的取值，显然，若一个质数p有k个，那么x可以取p^0,p^1….p^k
共(k+1)种情况
乘法原理乘起来就可以了
而且显然，x确定后，y必然也会被确定

那么我们先可以欧拉筛；
求出每个数的最小质因数然后大力就好了；

#include<bits/stdc++.h>
#define Ll long long
using namespace std;
const int N=1e6+5;
bool com[N];
int pri[N],tot,g[N],cnt[N];
int n,m,mo=1e9+7;
Ll ans;
void make(){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!com[i])pri[++tot]=i,g[i]=tot;
        for(int j=1;j<=tot;j++){
            if(pri[j]*i>n)break;
            com[pri[j]*i]=1;
            g[pri[j]*i]=j;
            if(i%pri[j]==0)break;
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    make();
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int x=i;x!=1;x/=pri[g[x]])cnt[g[x]]++;
    for(int i=1;i<=tot;i++)cnt[i]*=2;
    ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=ans*(cnt[i]+1)%mo;
    printf("%d",ans);
}