信号与频谱之正弦信号和复信号

第二章 信号与频谱

2.1 概述

信息传输的过程就是信号变换和处理的过程，如何观察这个过程信号发生的变化：一种方法是在时域观察信号波形的变化，另一种方法是在频域观察信号频谱的变化。
任何复杂的信号都可以分解成一系列不同频率的基本信号之和，一般用频谱来反映构成信号的所有频率成分。
最常见的基本信号是正弦信号。

2.2 正弦信号

正弦与余弦信号只在相位上相差$\frac{\pi }{2}$，因此统称为正弦信号。
$s(t)=Asin(2\pi ft+\phi )$，其中$A$是幅度，$f$是频率，$\phi$是初相。
正弦信号的特性：
1.积分特性：都一个正弦信号做积分，当积分区间取正弦信号周期的整数倍$n{T}_O$时，积分结果为零。
2.正弦信号的正交特性：
正弦信号集合： { s i n 2 π f 0 t , c o s 2 π f 0 t , s i n 4 π f 0 t , c o s 4 π f 0 t , s i n 6 π f 0 t , c o s 6 π f 0 t , . . . } \{sin2πf_0t,cos2πf_0t,sin4πf_0t,cos4πf_0t,sin6πf_0t,cos6πf_0t,...\} {sin2πf0​t,cos2πf0​t,sin4πf0​t,cos4πf0​t,sin6πf0​t,cos6πf0​t,...}由基波 { s i n 2 π f 0 t , c o s 2 π f 0 t } \{sin2πf_0t,cos2πf_0t\} {sin2πf0​t,cos2πf0​t}和二次谐波 { s i n 4 π f 0 t , c o s 4 π f 0 t } \{sin4πf_0t,cos4πf_0t\} {sin4πf0​t,cos4πf0​t}等各次谐波组成。
在这个正弦信号集合中：
（1）任意两个正弦信号的乘积在基波周期内的积分结果都为0：

（2）任意一个正弦信号与自身的乘积在基波周期内的积分结果都为$\frac{\pi }{2}$

　　证明的过程可以利用三角函数的和差化积公式，然后进行积分，配合以正弦信号的积分特性，可以证明其正交特性。

2.3 复指数信号

复指数信号相对于正弦信号，运算简洁，不像正弦信号作为基本信号进行频谱分析时会涉及三角函数运算那么繁琐。
欧拉公式
　　　　　　　　$e^{j\theta }＝cos\theta +jsin\theta$
欧拉公式的几何意义
$cos\theta +jsin\theta$是一个复数，在复平面上对应单位圆上的一个点，这个点可以用复指数$e^{j\theta }$表示，如下图。

欧拉公式利用泰勒展开进行，配合三角函数的泰勒展开可证。
　　复数与复指数$e^{j\theta }$相乘，相当于复数对应的向量旋转角度θ，θ大于０，为逆时针旋转，小于０则顺时针旋转。
　
所以对于虚数$j^2=-1$就很好理解了，在欧拉公式中，令$\theta =\frac{\pi }{2}$得到
　　　　　　$e^{j\frac{\pi }{2}}＝cos\frac{\pi }{2}+jsin\frac{\pi }{2}=j$
即复数与$j$相乘，就是与复指数$e^{j\frac{\pi }{2}}$相乘，相当于复数对应向量逆时针旋转$90^o$。
复指数信号：$s(t)=A{e}^{j({\omega }_{0}t+\phi )}$
其几何意义为复平面上的一个长度为A的向量，从角度$\phi$开始，以角速度${\omega }_0$围绕原点旋转，其末端在复平面的轨迹就是复指数信号。
假设$A=1$，${\omega }_0=2\pi$，$\phi =0$，复指数信号随时间变化的轨迹如下图

这个复指数信号在复平面的投影是一个圆。

在实轴和虚轴投影随时间变化的曲线如下图


　　复指数信号在复平面的投影就是一个李萨育图像，其示波器的X轴输入信号$cos(2\pi ft)$，Y轴输入信号$sin(2\pi ft)$，电子束运动轨迹函数为$cos(2\pi ft)+jsin(2\pi ft)$。
　　复信号的本质是并行传输的2路实信号，之所以叫做复信号是因为这个信号可以用复数来表示。
　　
复指数的积分特性：对一个复指数信号做积分，当积分区间取复指数信号周期的整数倍时，积分结果为零。
复指数的正交特性：复指数信号集合 { e j ω 0 t , e j 2 ω 0 t , e j 3 ω 0 t , . . . } \{e^{jω_0t},e^{j2ω_0t},e^{j3ω_0t},...\} {ejω0​t,ej2ω0​t,ej3ω0​t,...}，在这个集合中，任意一个复指数信号与另一个复指数信号共轭的乘积在基波周期内的积分结果为0，
一个复指数信号与自身共轭的乘积在基波周期内的积分结果为$T_0$.