UnityShader入门精要_要点整理_数学篇_unitysher入门精要数学-优快云博客

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第四章介绍了诸多学习UnityShader需要的数学知识，这里总结一些个人认为比较重要的知识点，以便分享和后续查阅。

主要是回顾一下矩阵和然后记录坐标系转换方面的。

左手坐标系，右手坐标系，左手法则右手法则？

为什要从观察空间（以相机为原点的空间）转换（投影）到裁剪空间？

左手坐标系，右手坐标系，左手法则右手法则？

直接看图更清晰直观。

左手坐标系 left_hand.png-40.5kB

右手坐标系 right_hand.png-40kB

左右手法则分别对应，左手坐标系和右手坐标系中的旋转正方向。 left_right_hand_rule.png-75.3kB

矩阵基础概念

矩阵与矩阵的乘法

书上概念：

演示计算步骤：

常见特殊矩阵概念

矩阵的基础性质：
- 矩阵乘法不满足交换律
- 矩阵乘法满足结合律
方块矩阵：行和列数量一样的就是方块矩阵，比如3*3，4*4的矩阵
单位矩阵：一个任何矩阵和他相乘都是原来矩阵的矩阵。
转置矩阵：将原有的行换为列，将原有的列换为行，即为转置矩阵，表示为 $M^T$ 。图为示例。

转置矩阵的性质一：转置矩阵的转置等于原矩阵

转置矩阵的性质二：矩阵串接的转置，等于反向串接各个矩阵的转置。

逆矩阵：

逆矩阵的性质一：逆矩阵的逆矩阵是原矩阵的本身

逆矩阵的性质二：单位矩阵的逆矩阵是它本身

逆矩阵的性质三：转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置

逆矩阵的性质四：矩阵串接相乘后的逆矩阵等于反向串接各个矩阵的逆矩阵。

正交矩阵：如果一个方阵M和他的转置矩阵的乘积是单位矩阵的话，我们就说这个矩阵是正交的。反过来说也是成立的。另外如果一个矩阵是正交的，那么他的转置矩阵和逆矩阵是相等的

如何快速判断矩阵是正交的。

选择行矩阵还是列矩阵？

如无特殊情况，Unity中使用列矩阵，和右乘。

矩阵的几何性质

常见几何矩阵一览表

平移矩阵：	平移坐标点
	平移方向向量
缩放矩阵：	一般缩放
	方向向量的缩放
旋转矩阵：	绕X轴旋转θ的矩阵
	绕Y轴旋转θ的矩阵
	绕X轴旋转θ的矩阵

复合变换矩阵

绝大多多数情况下我们约定的顺序就是先缩放，再旋转，最后平移。（如果顺序不一致，得到变换矩阵将会不一样，但是书上没有给出明确的关系）。下图是只考虑Y轴旋转的复合变换的例子。

给定一个复合旋转如何使用矩阵？

假设绕X轴，Y轴，Z轴分别旋转θ角度。要注意这个矩阵，对应的是每单次旋转后都更新旋转轴的情况，即下图。

使用矩阵完成坐标空间(系)的变换

假设我们要将坐标空间C转换到坐标空间P中，首先我们要知道坐标空间C在坐标空间P中的原点和坐标轴的矢量表示。然后把三个坐标轴依次放入矩阵的前三列。把原点放到最后一列。再用0和1填充最后一行即可。

如果我们只是变换方向矢量，可以只用一个3*3的矩阵，也就是前面的矩阵剔除掉平移的部分。

一个从模型到屏幕的完整标变换过程

首先是流程一览图。

vertex_conversion.png-100.9kB space_handness.png-75.6kB

整个变换过程包含了比较多的的公式运算，这里节选比较重要的点做整理，（PS：主要整理透视投影）。

为什要从观察空间（以相机为原点的空间）转换（投影）到裁剪空间？
- 主要是常规的数学方法中，使用相机视锥体的6个面裁剪可视物体，比较麻烦，投影后可以使齐次坐标的w分量“有意义”，即，可以使用投影后生成齐次坐标的w分量，便捷的判断物体是否在视锥体范围内。更重要的是有了这个w分量，为了后续裁剪空间到屏幕空间的变换可以通过一个简单的“齐次除法”来完成。

观察空间到裁剪空间做了什么？

首先是观察空间到裁剪空间的变换矩阵，该矩阵的推到过程可以看书上的流程，主要是使用相机的FOV和近裁剪面，远裁剪面进行一系列计算得出。

该矩阵表明了，整个投影过程实际上是对x，y，z分别作了不同程度的缩放，缩放的目的是为了方便裁剪。更重要的是，变换后的w分量，不再是1，而是原先z分量的取反结果。有了这个w分量后，我们可以通过如下不等式来判断，顶点是否在视锥体内。

以下是裁剪过程示意图。另外要注意的是，裁剪矩阵会改变空间的旋向性，也就是空间从右手坐标系变换到了左手坐标系，这意味着离相机越远，z值越大。

projection_matrix0.png-135.1kB

屏幕空间的变换是怎样的？什么是齐次除法？
齐次除法，简单来说就是使用坐标的xyz分量分别除以w分量，以得到一个在（0，1）范围内的归一化设备坐标（NDC）。
从NDC在映射到真正的屏幕坐标。
- 在Unity中，屏幕空间左下角的像素坐标是（0，0），右上角是（pixelWith，pixelHeight），而我们前面得到的NDC坐标x，y都是在[0，1]的范围内，所以要缩放到[0，pixelWith]，和[0，pixelHeight]范围，公式为另外，z轴坐标会直接除以w分量，然后把该值放到深度缓冲中去。