N 皇后问题

N皇后问题, 是一个很经典的递归算法.(recursion)， 题目来自国际象棋玩法。

一、问题描述：

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
在n×n的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不能放在同一行或同一列或同一斜线上。
输入：
      给定棋盘的大小n (n≤ 13)
输出：
      输出有多少种放置方法，及各种解。
二、解题思路：
首先用 i  （1<= i <= n）表示行，代表 N 个皇后处在不同行上。
再用 x（i）表示列， 代表第 i 个皇后放在 x（i）列上 。
这样来看约束条件：
 因为i 已经代表了N个皇后处在不同行上，所以这点可以不用考虑。
如果x(k) = x(i), 那就表示皇后k和皇后i处在同一列， 要各个皇后处在不同列上，就需要 x[k] != x[i].
如果皇后k 和皇后i 处在同一斜线上，那必须有 i + x(i) = k + x(k), 或i - x(i) = k - x(k),
也就是同一斜线上的（X，Y）坐标， 要么X + Y相等（左高右低）， 要么X-Y相等（左低右高）。
合并两个公式，也就是 |i -k|  = |x(i) - x(k)| ,    绝对值用函数abs()即可。

如下图：


这样再利用回溯法，就可以找出解了：
1. 递归法：

#include<stdio.h>
#define N 15

int n; //queuen number
int sum = 0; // solution number
int x[N]; // queen column


int place(int k) //try to put new queen k on x[k].
{
        int i;
        for(i=1;i<k;i++)
                if(abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]) || x[k] == x[i])
                        return 0;
        return 1;
}


int queen(int t)
{
        int j;

        if(t>n && n>0) //when t > n, solution + 1
                sum++;
        else
                for(j=1;j<=n;j++) {
                        x[t] = j;   //queen t on j column
                        if(place(t))  //if return true, place another queen.
                                queen(t+1);
                }
        return sum;
}

int main()
{
        int t;

        scanf("%d",&n);
        t = queen(1);
        if(n == 0)                    //if n = 0, solution = 0.
                t = 0;
        printf("%d\n",t);

        return 0;
}

2. 迭代法, 不使用递归方式，

#include<stdio.h>
#define N 15

int n;
int sum = 0;
int x[N];

int place(int k)
{
        int i;
        for(i=1;i<k;i++)
                if(abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]) || x[k] == x[i])
                return 0;
        return 1;
}

int queen()
{
        x[1] = 0;
        int t=1;
        while(t>0)
        {
                x[t]+=1;
                while(x[t]<=n && !place(t))
                        x[t]++;
                if(x[t]<=n) {
                        if(t == n)
                                sum++;
                        else
                                x[++t] = 0;
                } else
                        t--;
        }
        return sum;
}

int main()
{
        int t;
        scanf("%d",&n);
        t = queen();
        printf("%d",t);
        return 0;
}

在这里我们可以看到，递归回溯非常简单，结构很清晰，但它有一个潜在的问题存在，即当随着变量n的增大，递归法的复杂度也将成几何级增长，也有可能会出现重复的情况，所以我们在解决问题时，如果能用迭代法解决，最好还是不要用递归法，除非你已经对这个递归了如指掌了。
 

    通过这个N皇后问题，我想大概已经把回溯法讲得很清楚了吧，回溯法得到的解展开就是一个树，很多方法都是可以通过回溯法来解决的，效率很高，但如果基数过大的话，回溯法就显得不是那么适用了，这也是回溯法的弱势吧。
比如说这个N皇后问题，好像当n>60的时候，回溯法就不能完全地解决问题了，这时可以考虑用概率算法来解决，它可以解决很大的基数，只不过结果不是很精确而已。
所以我们在面对一个问题时，具体是使用什么算法还是要结合实际情况来考虑的，目的都是更方便、更准确地解决问题。