一.整除
设a , b为整数,a != 0 如果存在一个整数q,使得 a * q = b ,则 b 能被 a 整除,记为 a | b,且称 b 是 a 的倍数 a 是 b 的因子.
i.整除的几个性质
1.传递性 :如果 a | b 且 b | c, 则 a | c
2.a | b 且 a | c 等价于对于任意的整数x,y,有a | (bx + cy)
3.设m不为0,则a | b等价于ma | mb
4.设整数x,y满足下式:ax + by=1,且a | n,b | n,那么(ab) | n
5.若b = q * d + c,那么 d | b 的充要条件是 d | c.
这里挑选几个重要的证明(懒)
证明
1.传递性 :如果 a | b 且 b | c, 则 a | c
设b = k * a(k为整数)
c = s * b(s为整数)
∴c = s * k * a;
∴a | c;
5.若b = q * d + c,那么 d | b 的充要条件是 d | c.
当 d | b 时
设b = k * d;
k * d = q * d + c;
∴d | c;
d | c 时 同理可得;
ii.一些常见数的整除知识
- 若 2 能整除 a 的最末位,则 2 | a
- 若 4 能整除 a 的末两位,则 4 | a
- 若 8 能整除 a 的末三位,则 8 | a
- 若 3 能整除 a 的各位数字之和,则 3 | a
- 若 9 能整除 a 的各位数字之和,则 9 | a
- 若 11 能整除 a 的偶数位数字之和与奇数位数字之和的差,则 11 | a
- 能被 7、 11、13 整除的数的特征是:这个数的末三位与末三位以前的数字所组成数之差能被 、7、11 、13整除
这里证明一下第7个
不妨设这个数为abcdefgh
已知(fgh - abcde) % 1001 = 0;
= (abcde * 1000 + fgh) + abcde - abcde;
= (abcde * 1001 + (fgh - abcde)) % 1001;
∴成立
二. 模运算
对于整数a,b,其中b不为0,求a除以b的余数,称为a模b,记为 a % b .
i.模运算的性质:
1.分配率:模运算对加,减,乘具有分配率
(a + b) % c = (a % c + b % c) % c;
(a - b) % c = (a % c - b % c) % c;
(a * b) % c = (a % c * b % c) % c;
(ab)% c = (a % c)b % c;
证明~~(超大声)
(a + b) % c = (a % c + b % c) % c;
设 a = k * c + x; (a / c = k 余 x)
b = s * c + y; (b / c = s 余 y)
∴(k * c + s * c + x + y) % c = (a % c + b % c) % c;
∴(c*(k + s) + x + y) % c = (x + y) % c;
∴得证;
同理
(a - b) % c = (a % c - b % c) % c;
(a * b) % c = (a % c * b % c) % c;
(ab)% c = (a % c)b % c;
2.放缩型
如果a % b = c,d != 0,则有(a * d) % (b * d) = c * d;
如果a % b = c,d | a,d | b, 则有(a / d) % (b / d) = c * d;
根据缩放性,则有除法区余这个式子:
a / b % c = a * (b * c) / b;
证明
1.如果a % b = c,d != 0,则有(a * d) % (b * d) = c * d;
∵k * b + c = a;
∴k * d * b + c * d = a * d;
∴a * d = b * d * k + c * d(更直观移项)
∴方程式为:(b * d * k + c * d) % (b * d) = c * d;
∴得证;
同理(其实差不多,请读者自行思考吧)
如果a % b = c,d | a,d | b, 则有(a / d) % (b / d) = c * d;
三.同余
i.同余的性质
1.反身性:a ≡ a (mod m);
2.对称性:若a ≡ b(mod m),则b ≡ a (mod m);
3.传递性:若a ≡ b(mod m),b ≡ c (mod m),则a ≡ c(mod m);
4.同加性:若a ≡ b(mod m),则a + c ≡ b + c(mod m);
5.同乘性:若a ≡ b(mod m),则a * c ≡ b * c(mod m)。
6.同减性:若a ≡ b(mod m),则a - c ≡ b - d(mod m);
7.同除性:若a ≡ b(mod m),c ≡ d(mod m),且c | a,c | b,(c,p) = 1,则a / c ≡ b / c(mod m)。
8.若a % p = x,a % q = x,且p,q互质,则a %(q * p) = x
证明
前三道就不证了(易证可得)
4.同余式相加:若a ≡ b(mod m),c ≡ d(mod m),则a + c ≡ b + d(mod m);
∵a ≡ b(mod m);
∴m | (a - b); (因为定义)
∴m | (a - b) + c - c;
∴m | (a + c) - (b + c);
∴得证;
8.若a % p = x,a % q = x,且p,q互质,则a %(q * p) = x
分析(终于有分析了)第一眼看到p,q互质就可以想到,a应该是q与p的公倍数且因数不重合,所以就可以有以下的思考
∵a % p = x, a % q = x;
∴p | a - x, q | a - x;
∴pq | a - x;(分析有讲)
∴a % (q * p) = x;
∴得证;