新手教程,初步数论及其在信息科学中的应用

这篇博客介绍了数论的基础概念,包括整除的性质和常见数的整除判断,详细阐述了模运算的性质,并探讨了同余的原理。内容涵盖整除的传递性、模运算的分配率、同余的对称性和传递性等,这些理论在信息科学中有广泛应用。

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一.整除

设a , b为整数,a != 0 如果存在一个整数q,使得 a * q = b ,则 b 能被 a 整除,记为 a | b,且称 b 是 a 的倍数 a 是 b 的因子.

i.整除的几个性质

1.传递性 :如果 a | b 且 b | c, 则 a | c
2.a | b 且 a | c 等价于对于任意的整数x,y,有a | (bx + cy)
3.设m不为0,则a | b等价于ma | mb
4.设整数x,y满足下式:ax + by=1,且a | n,b | n,那么(ab) | n
5.若b = q * d + c,那么 d | b 的充要条件是 d | c.

这里挑选几个重要的证明(
证明
1.传递性 :如果 a | b 且 b | c, 则 a | c

    设b = k * a(k为整数)
      c = s * b(s为整数)
    ∴c = s * k * a;
    ∴a | c;

5.若b = q * d + c,那么 d | b 的充要条件是 d | c.

	当 d | b 时
	设b = k * d;
	k * d = q * d + c;
	∴d | c;
	d | c 时 同理可得;

ii.一些常见数的整除知识

  1. 若 2 能整除 a 的最末位,则 2 | a
  2. 若 4 能整除 a 的末两位,则 4 | a
  3. 若 8 能整除 a 的末三位,则 8 | a
  4. 若 3 能整除 a 的各位数字之和,则 3 | a
  5. 若 9 能整除 a 的各位数字之和,则 9 | a
  6. 若 11 能整除 a 的偶数位数字之和与奇数位数字之和的差,则 11 | a
  7. 能被 7、 11、13 整除的数的特征是:这个数的末三位与末三位以前的数字所组成数之差能被 、7、11 、13整除

这里证明一下第7个

	不妨设这个数为abcdefgh
	已知(fgh - abcde) % 1001 = 0;
	= (abcde * 1000 + fgh) + abcde - abcde;
	= (abcde * 1001 + (fgh - abcde)) % 1001;
	∴成立

二. 模运算

对于整数a,b,其中b不为0,求a除以b的余数,称为a模b,记为 a % b .

i.模运算的性质:

1.分配率:模运算对加,减,乘具有分配率
(a + b) % c = (a % c + b % c) % c;
(a - b) % c = (a % c - b % c) % c;
(a * b) % c = (a % c * b % c) % c;
(ab)% c = (a % c)b % c;
证明~~(超大声)
(a + b) % c = (a % c + b % c) % c;

	设 a = k * c + x; (a / c = k 余 x)
	b = s * c + y; (b / c = s 余 y)(k * c + s * c + x + y) % c = (a % c + b % c) % c;(c*(k + s) + x + y) % c = (x + y) % c;
    ∴得证;

同理
(a - b) % c = (a % c - b % c) % c;
(a * b) % c = (a % c * b % c) % c;
(ab)% c = (a % c)b % c;
2.放缩型
如果a % b = c,d != 0,则有(a * d) % (b * d) = c * d;
如果a % b = c,d | a,d | b, 则有(a / d) % (b / d) = c * d;
根据缩放性,则有除法区余这个式子
a / b % c = a * (b * c) / b;
证明
1.如果a % b = c,d != 0,则有(a * d) % (b * d) = c * d;

	∵k * b + c = a;
	∴k * d * b + c * d = a * d;
	∴a * d = b * d * k + c * d(更直观移项)
	∴方程式为:(b * d * k + c * d) % (b * d) = c * d;
	∴得证;

同理(其实差不多,请读者自行思考吧)
如果a % b = c,d | a,d | b, 则有(a / d) % (b / d) = c * d;

三.同余

i.同余的性质

1.反身性:a ≡ a (mod m);
2.对称性:若a ≡ b(mod m),则b ≡ a (mod m);
3.传递性:若a ≡ b(mod m),b ≡ c (mod m),则a ≡ c(mod m);
4.同加性:若a ≡ b(mod m),则a + c ≡ b + c(mod m);
5.同乘性:若a ≡ b(mod m),则a * c ≡ b * c(mod m)。
6.同减性:若a ≡ b(mod m),则a - c ≡ b - d(mod m);
7.同除性:若a ≡ b(mod m),c ≡ d(mod m),且c | a,c | b,(c,p) = 1,则a / c ≡ b / c(mod m)。
8.若a % p = x,a % q = x,且p,q互质,则a %(q * p) = x
证明
前三道就不证了(易证可得
4.同余式相加:若a ≡ b(mod m),c ≡ d(mod m),则a + c ≡ b + d(mod m);

	∵a ≡ b(mod m);
	∴m | (a - b); (因为定义)
	∴m | (a - b) + c - c;
	∴m | (a + c) - (b + c);
	∴得证;

8.若a % p = x,a % q = x,且p,q互质,则a %(q * p) = x
分析(终于有分析了)第一眼看到p,q互质就可以想到,a应该是q与p的公倍数且因数不重合,所以就可以有以下的思考

	∵a % p = x, a % q = x;
	∴p | a - x, q | a - x;
	∴pq | a - x;(分析有讲)
	∴a % (q * p) = x;
	∴得证;
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