数论初步

欧几里得算法（辗转相除法）

内容

$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b),gcd(a,0)=a$

应用

求两数的最大公因数

证明

大致思路：分为两步，首先证明 $gcd(a,b)$ 是 $b$ 和 $a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$ 的一个公因数，
然后利用反证法证明 $gcd(a,b)$ 是 $b$ 和 $a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$ 的最大公因数

步骤1
设 $c=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$，$k=\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$

则 $c=a-bk$ ①

设 $a=k_1\cdot gcd(a,b)$ ②，$b=k_2\cdot gcd(a,b)$ ③

将 ②③ 代入 ①，得 $c=k_1\cdot gcd(a,b)-k\cdot k_2\cdot gcd(a,b)$

提取公因数 $gcd(a,b)$，得 $c=gcd(a,b)(k_1-k\cdot k_2)$

此时可知 $gcd(a,b)|c$，证得 $gcd(a,b)$ 是 $b$ 和 $a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$ 的一个公因数

步骤2
假设 $k_1-k\cdot k_2=qt$，$k_1=pt$，$t\in Z,t>1$

而我们知道，$a=k_1\cdot gcd(a,b)$ ②，$b=k_2\cdot gcd(a,b)$ ③

解得 $a=(p+q)\cdot t\cdot gcd(a,b)$，$b=pt\cdot gcd(a,b)$

容易看出 $gcd(a,b)=t\cdot gcd(a,b)$，而 $t\ne 1$，不成立

算法实现

int gcd(int a, int b)
{
    return !b ? a : gcd(b, a % b);
}

扩展欧几里得算法

内容

裴蜀定理（贝祖定理）：$a,b\in Z,\exists x,y\in Z,ax+by=gcd(a,b)$

应用

在求解两数最大公因数的同时，

求出 $ax+by=gcd(a,b)$ 的整数解 $a,b$

证明

大致思路：利用数学归纳法，分为两步，先证明 $a=gcd(a,b),b=0$ 时的情况，
然后推广到一般情况, 利用模数的定义对参数进行替换，从而计算出通式

步骤1
当 $a=gcd(a,b),b=0$ 时，可以解得 $x=1,y=0$，此时方程有解

步骤2
假设对于 $\forall a,b,ax+by=gcd(a,b)$ 都有解

则 $b{x}_1+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)\cdot y_1=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$ ① 成立

而 $a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \cdot b$ ②

结合①②两式，化简得出 $a{y}_1+b(x_1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \cdot y_1)$，此时 $x=y1,y=x_1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \cdot y_1$，方程有解

算法实现

void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y)
{
    if (!b)  {d = a, x = 1, y = 0;}  //对应上面证明的特殊情况
    else
    {
        exgcd(b, a % b, d, x, y);
        int tmpx = x, tmpy = y; // 已经计算完的上一层的 x, y, 对应证明中的 x1, y1
        x = tmpy, y = tmpx - (a / b) * tmpy; // 计算本层的 x, y
    }
}

乘法逆元（数论中的倒数）

内容

若 $ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$，$gcd(a,b)=1$，此时 $x$ 为 $a$ 的逆元，记为 $a^{-1}$（ $a$ 也为 $x$ 的逆元），也可以称 $x$ 为 $a$ 在 $(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$ 意义下的倒数

应用

由于 $\frac{a}{b}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)\ne \frac{a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n}{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n}$，

但利用乘法逆元则可以求解 $\frac{a}{b}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$，方法如下：

求出 $b$ 在 $(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$ 意义下的倒数 $b^{-1}$，然后计算 $a{b}^{-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$ 即为正确答案

算法实现

扩展欧几里得法

原理

由乘法逆元定义可知，$ax\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=1$

由此推出，$\exists k,ax=nk+1$

移项，得出 $ax-nk=1$，这时已经变成了形如 $ax+by=gcd(a,b)$ 的方程

此时需要满足 $gcd(a,n)=1$，即可对方程求解

解为 $x,k$，其中 $x$ 即为 $a$ 的乘法逆元

代码实现

与上方扩展欧几里得的运算过程相同，只不过在主函数中调用 $exgcd$ 函数的时候需要保证 $gcd(a,b)=1$，最终取 $x$ 的结果

费马小定理法

原理

根据费马小定理，$\forall a\in N^{\ast },p\in P,gcd(a,p)=1$，有 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

和乘法逆元的定义式进行对比，可得 $ax\equiv a^{p-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

化简得 $x\equiv a^{p-2}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

即可得出 $a^{p-2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$ 为 $a$ 的乘法逆元

代码实现

即求一个数的 $p-2$ 次幂，需要用到快速幂算法

递推算法（Luogu P3811）

原理

已知 $1^{-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

设 $k=\lfloor \frac{p}{i}\rfloor$，$r=p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i$

则 $ki+r\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

将上式乘 $(ir{)}^{-1}$，得 $k{r}^{-1}+i^{-1}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

解得 $i^{-1}\equiv -k\cdot r^{-1}$，即 $i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i}\rfloor \cdot (p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i{)}^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

得出 $i$ 的逆元为 $(-\lfloor \frac{p}{i}\rfloor \cdot (p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i{)}^{-1})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$

卢卡斯定理

内容

$C_n^m=\prod _{i=0}^k{C}_{n_i}^{m_i}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$