本文探讨了二叉查找树这一高效动态查找结构，包括其特点、操作及效率分析。通过实例展示了如何利用二叉查找树进行数据插入、删除及中序遍历，同时对比了不同数据集合对查找效率的影响。
当所有的静态查找结构添加和删除一个数据的时候，整个结构都需要重建。这对于常常需要在查找过程中动态改变数据而言，是灾难性的。因此人们就必须去寻找高效的动态查找结构，我们在这讨论一个非常常用的动态查找树——二叉查找树 。
二叉查找树的特点
下面的图就是两棵二叉查找树，我们可以总结一下他的特点：
(1) 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值
(2) 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值
(3) 它的左、右子树也分别为二叉查找树
我们中序遍历这两棵树发现一个有序的数据序列： 【1 2 3 4 5 6 7 8 】
二叉查找树的操作
插入操作：
现在我们要查找一个数9，如果不存在则，添加进a图。我们看看二叉查找树动态添加的过程：
1). 数9和根节点4比较(9>4)，则9放在节点4的右子树中。
2). 接着，9和节点5比较(9>5)，则9放在节点5的右子树中。
3). 依次类推：直到9和节点8比较(9>8)，则9放在节点8的右子树中，成为节点8的右孩子。
这个过程我们能够发现，动态添加任何一个数据，都会加在原树结构的叶子节点上，而不会重新建树。 由此可见，动态查找结构确实在这方面有巨大的优势。
删除操作：
如果二叉查找树中需要删除的结点左、右子树都存在，则删除的时候需要改变一些子树结构，但所需要付出的代价很小。
二叉查找树的效率分析
那么我们再来看看二叉查找树的效率问题
很显然，在a,b两图的二叉查找树结构中查找一个数据，并不需要遍历全部的节点元素，查找效率确实提高了。但是有一个很严重的问题：我们在a图中查找8需要比较5次数据，而在B图中只需要比较3次。更为严重的是：如果按有序序列[1 2 3 4 5 6 7 8]建立一颗二叉查找树，整棵树就退化成了一个线性结构（如c输入图：单支树），此时查找8需要比较8次数据，和顺序查找没有什么不同。
总结一下：最坏情况下，构成的二叉排序树蜕变为单支树，树的深度为n，其查找时间复杂度与顺序查找一样O(N)。最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和log2(N)成正比 （O(log2(n))）。
这说明：同样一组数据集合，不同的添加顺序会导致查找树的结构完全不一样，直接影响了查找效率。
下面是java实现的二叉查找树（说句老实话，没有指针的java实现数据结构真是复杂）：
Java代码 
- package net.hr.algorithm.search;
- import java.util.ArrayList;
- /**
- * 二叉树节点结构
- * @author heartraid
- */
- class BSTNode<E extends Comparable<E>>{
- /**结点关键字*/
- E key=null;
- /**直接父亲结点*/
- BSTNode<E> parent=null;
- /**结点左子树的根节点*/
- BSTNode<E> lchild=null;
- /**结点右子树的根节点*/
- BSTNode<E> rchild=null;
- BSTNode(E k){
- this.key=k;
- }
- }
- /**
- * 二叉查找树 Binary Search Tree(BST)
- * @author heartraid
- *
- */
- public class BST<E extends Comparable<E>> {
- /**树根*/
- private BSTNode<E> root=null;
- public BST(){
- }
- /**
- * BST 查询关键字
- * @param key 关键字
- * @return 查询成功/true, 查询失败/false
- */
- public boolean search(E key){
- System.out.print("搜索关键字["+key+"]：");
- if(key==null||root==null){
- System.out.println("搜索失败");
- return false;
- }
- else{
- System.out.print("搜索路径[");
- if(searchBST(root,key)==null){
- return false;
- }
- else return true;
- }
- }
- /**
- * BST插入关键字
- * @param key 关键字
- * @return 插入成功/true, 插入失败/false
- */
- public boolean insert(E key){
- System.out.print("插入关键字["+key+"]：");
- if(key==null) return false;
- if(root==null){
- System.out.println("插入到树根。");
- root=new BSTNode<E>(key);
- return true;
- }
- else{
- System.out.print("搜索路径[");
- return insertBST(root,key);
- }
- }
- public boolean delete(E key){
- System.out.print("删除关键字["+key+"]：");
- if(key==null||root==null){
- System.out.println("删除失败");
- return false;
- }
- else{
- System.out.print("搜索路径[");
- //定位到树中待删除的结点
- BSTNode<E> nodeDel=searchBST(root,key);
- if(nodeDel==null){
- return false;
- }
- else{
- //nodeDel的右子树为空,则只需要重接它的左子树
- if(nodeDel.rchild==null){
- BSTNode<E> parent=nodeDel.parent;
- if(parent.lchild.key.compareTo(nodeDel.key)==0)
- parent.lchild=nodeDel.lchild;
- else
- parent.rchild=nodeDel.lchild;
- }
- //左子树为空,则重接它的右子树
- else if(nodeDel.lchild==null){
- BSTNode<E> parent=nodeDel.parent;
- if(parent.lchild.key.compareTo(nodeDel.key)==0)
- parent.lchild=nodeDel.rchild;
- else
- parent.rchild=nodeDel.rchild;
- }
- //左右子树均不空
- else{
- BSTNode<E> q=nodeDel;
- //先找nodeDel的左结点s
- BSTNode<E> s=nodeDel.lchild;
- //然后再向s的右尽头定位(这个结点将替代nodeDel)，其中q一直定位在s的直接父亲结点
- while(s.rchild!=null){
- q=s;
- s=s.rchild;
- }
- //换掉nodeDel的关键字为s的关键字
- nodeDel.key=s.key;
- //重新设置s的左子树
- if(q!=nodeDel)
- q.rchild=s.lchild;
- else
- q.lchild=s.lchild;
- }
- return true;
- }
- }
- }
- /**
- * 递归查找关键子
- * @param node 树结点
- * @param key 关键字
- * @return 查找成功，返回该结点，否则返回null。
- */
- private BSTNode<E> searchBST(BSTNode<E> node, E key){
- if(node==null){
- System.out.println("]. 搜索失败");
- return null;
- }
- System.out.print(node.key+" —>");
- //搜索到关键字
- if(node.key.compareTo(key)==0){
- System.out.println("]. 搜索成功");
- return node;
- }
- //在左子树搜索
- else if(node.key.compareTo(key)>0){
- return searchBST(node.lchild,key);
- }
- //在右子树搜索
- else{
- return searchBST(node.rchild,key);
- }
- }
- /**
- * 递归插入关键字
- * @param node 树结点
- * @param key 树关键字
- * @return true/插入成功，false/插入失败
- */
- private boolean insertBST(BSTNode<E> node, E key){
- System.out.print(node.key+" —>");
- //在原树中找到相同的关键字，无需插入。
- if(node.key.compareTo(key)==0)
- {
- System.out.println("]. 搜索有相同关键字，插入失败");
- return false;
- }
- else{
- //搜索node的左子树
- if(node.key.compareTo(key)>0){
- //如果当前node的左子树为空，则将新结点key node插入到左孩子处
- if(node.lchild==null) {
- System.out.println("]. 插入到"+node.key+"的左孩子");
- BSTNode<E> newNode=new BSTNode<E>(key);
- node.lchild=newNode;
- newNode.parent=node;
- return true;
- }
- //如果当前node的左子树存在，则继续递归左子树
- else return insertBST(node.lchild, key);
- }
- //搜索node的右子树
- else{
- if(node.rchild==null){
- System.out.println("]. 插入到"+node.key+"的右孩子");
- BSTNode<E> newNode=new BSTNode<E>(key);
- node.rchild=newNode;
- newNode.parent=node;
- return true;
- }
- else return insertBST(node.rchild,key);
- }
- }
- }
- /**
- * 得到BST根节点
- * @return BST根节点f
- */
- public BSTNode<E> getRoot(){
- return this.root;
- }
- /**
- * 非递归中序遍历BST
- */
- public void InOrderTraverse(){
- if(root==null)
- return;
- BSTNode<E> node=root;
- ArrayList<BSTNode<E>> stack=new ArrayList<BSTNode<E>>();
- stack.add(node);
- while(!stack.isEmpty()){
- while(node.lchild!=null){
- node=node.lchild;
- stack.add(node);
- }
- if(!stack.isEmpty()){
- BSTNode<E> topNode=stack.get(stack.size()-1);
- System.out.print(topNode.key+" ");
- stack.remove(stack.size()-1);
- if(topNode.rchild!=null){
- node=topNode.rchild;
- stack.add(node);
- }
- }
- }
- }
- /**
- * 测试
- */
- public static void main(String[] args) {
- BST<Integer> tree=new BST<Integer>();
- tree.insert(new Integer(100));
- tree.insert(new Integer(52));
- tree.insert(new Integer(166));
- tree.insert(new Integer(74));
- tree.insert(new Integer(11));
- tree.insert(new Integer(13));
- tree.insert(new Integer(66));
- tree.insert(new Integer(121));
- tree.search(new Integer(11));
- tree.InOrderTraverse();
- tree.delete(new Integer(11));
- tree.InOrderTraverse();
- }
- }
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2013
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