UVA 10061 How many zeros and how many digits?

计算阶乘位数与尾零

最新推荐文章于 2025-10-20 09:05:22 发布

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本文介绍了一种高效算法来计算任意整数n的阶乘（n!）的位数及其尾随零的数量。通过数学分析和逐步示例说明了如何避免直接计算阶乘以减少内存使用和计算时间，特别关注于确定尾零数量的方法。

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题目

多少个零和数字？

分析

真的难；
计算 $n!$ 有多少位以及有多少尾零；
第一个问题是多少位，举一些栗子， $16 (10) = 1 \times 101 + 6 \times 100$ $16_{(10)}=1×10^1+6×10^0$ $256 (10) = 2 \times 102 + 5 \times 101 + 6 \times 100$ $256_{(10)}=2×10^2+5×10^1+6×10^0$
对于给定的数字 $a$ 和进制 $b$ ，只需要求 $k=floor(log_ba)=floor(\frac{loga}{logb})$ 即可获得位数 $k$ ，实际上所求的是 $b^k<a<b^{k+1}$ ；
再而是对于 $n!$ ，如果先行求出 $n!$ ，可能存在溢出和超时，那么可以这样 $l o g (n!) = l o g (n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 1) = l o g (n) + l o g (n - 1) + l o g (n - 2) + \dots + l o g (1)$ $log(n!)=log(n×(n-1)×(n-2)×…×1)=log(n)+log(n-1)+log(n-2)+…+log(1)$
第二个问题是尾零，观察 $3000_{(10)}!$ ，
求尾零实际是在求有多少个10相乘， $1000=10×10×10$ 有3个10就有三个0，再而分析，有1个10就有一个5（最大质因数），求出这些数分解后有多少个5相乘，就有多少个尾零，为什么考虑5呢？因为阶乘可能溢出或者超时，如果拆开对每个数考察，只考察10结果是不可靠的，所以应该考察组成10的因子；
$3000_{(10)}!$ 可以表示为
$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times (5 \times 1) \times \dots \times 9 \times (5 \times 2) \times \dots \times 14 \times (5 \times 3) \times \dots \times 1 \times (5 \times 600)$ $1×2×3×4×(5×1)×…×9×(5×2)×…×14×(5×3)×…×1×(5×600)$
有600个5相乘，就是有600个0。
但是在上式中，括号内的 $[1, 600]$ 这些数字中又有5的倍数，那么 $[1, 600]$ 中有多少个5的倍数，意味着漏了多少个0。
$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times (5 \times 1) \times \dots \times 9 \times (5 \times 2) \times \dots \times 14 \times (5 \times 3) \times \dots \times 1 \times (5 \times 120)$ $1×2×3×4×(5×1)×…×9×(5×2)×…×14×(5×3)×…×1×(5×120)$
有120个5相乘，就是有120个0 。
但是在上式中，括号内的 $[1, 120]$ 这些数字中又有5的倍数，那么 $[1, 120]$ 中有多少个5的倍数，意味着又漏了多少个0。
$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times (5 \times 1) \times \dots \times 9 \times (5 \times 2) \times \dots \times 14 \times (5 \times 3) \times \dots \times 1 \times (5 \times 24)$ $1×2×3×4×(5×1)×…×9×(5×2)×…×14×(5×3)×…×1×(5×24)$
有24个5相乘，就是有24个0 。
但是在上式中，括号内的 $[1, 24]$ 这些数字中又有5的倍数，那么 $[1, 24]$ 中有多少个5的倍数，意味着又漏了多少个0。
$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times (5 \times 1) \times \dots \times 9 \times (5 \times 2) \times \dots \times 14 \times (5 \times 3) \times \dots \times 1 \times (5 \times 4) \times \dots \times 24$ $1×2×3×4×(5×1)×…×9×(5×2)×…×14×(5×3)×…×1×(5×4)×…×24$
有4个5相乘，就是有4个0 。
此时不再有5，结束。共有 $600+120+24+4=748$ 个尾零。

代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int cal_digit(int n, int b)
{
    int i;
    double l;
    for (i = 2, l = 0; i <= n; i++)
        l += log10(i) / log10(b);
    return l + 1;
}

int cal_zero(int n, int b)
{
    int i, d, m, t;
    for (i = 2, d = 1; i <= b; i++) {
        m = 0;
        while (b % i == 0) {
            m++;
            d = i;
            b /= i;
        }
    }
    for (t = 0; n > 0; ) {
        t += n / d;
        n /= d;
    }
    return t / m;
}

int main(void)
{
    int n, b;
    while (scanf("%d%d", &n, &b) != EOF)
        printf("%d %d\n", cal_zero(n, b), cal_digit(n, b));
    return 0;
}