UVA 10061 How many zeros and how many digits?

题目

多少个零和数字？

分析

1. 真的难；
2. 计算$n!$有多少位以及有多少尾零；
3. 第一个问题是多少位，举一些栗子， $$16_{(10)}=1×10^1+6×10^0$$ $$256_{(10)}=2×10^2+5×10^1+6×10^0$$
   对于给定的数字$a$和进制$b$，只需要求$k=floor(log_ba)=floor(\frac{loga}{logb})$即可获得位数$k$，实际上所求的是$b^k<a<b^{k+1}$；
   再而是对于$n!$，如果先行求出$n!$，可能存在溢出和超时，那么可以这样 $$log(n!)=log(n×(n-1)×(n-2)×…×1)=log(n)+log(n-1)+log(n-2)+…+log(1)$$
4. 第二个问题是尾零，观察$3000_{(10)}!$，
   求尾零实际是在求有多少个10相乘，$1000=10×10×10$有3个10就有三个0，再而分析，有1个10就有一个5（最大质因数），求出这些数分解后有多少个5相乘，就有多少个尾零，为什么考虑5呢？因为阶乘可能溢出或者超时，如果拆开对每个数考察，只考察10结果是不可靠的，所以应该考察组成10的因子；
   $3000_{(10)}!$可以表示为
   $$1×2×3×4×(5×1)×…×9×(5×2)×…×14×(5×3)×…×1×(5×600)$$
   有600个5相乘，就是有600个0。
   但是在上式中，括号内的$[1, 600]$这些数字中又有5的倍数，那么$[1, 600]$中有多少个5的倍数，意味着漏了多少个0。
   $$1×2×3×4×(5×1)×…×9×(5×2)×…×14×(5×3)×…×1×(5×120)$$
   有120个5相乘，就是有120个0 。
   但是在上式中，括号内的$[1, 120]$这些数字中又有5的倍数，那么$[1, 120]$中有多少个5的倍数，意味着又漏了多少个0。
   $$1×2×3×4×(5×1)×…×9×(5×2)×…×14×(5×3)×…×1×(5×24)$$
   有24个5相乘，就是有24个0 。
   但是在上式中，括号内的$[1, 24]$这些数字中又有5的倍数，那么$[1, 24]$中有多少个5的倍数，意味着又漏了多少个0。
   $$1×2×3×4×(5×1)×…×9×(5×2)×…×14×(5×3)×…×1×(5×4)×…×24$$
   有4个5相乘，就是有4个0 。
   此时不再有5，结束。共有$600+120+24+4=748$个尾零。

代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int cal_digit(int n, int b)
{
    int i;
    double l;
    for (i = 2, l = 0; i <= n; i++)
        l += log10(i) / log10(b);
    return l + 1;
}

int cal_zero(int n, int b)
{
    int i, d, m, t;
    for (i = 2, d = 1; i <= b; i++) {
        m = 0;
        while (b % i == 0) {
            m++;
            d = i;
            b /= i;
        }
    }
    for (t = 0; n > 0; ) {
        t += n / d;
        n /= d;
    }
    return t / m;
}

int main(void)
{
    int n, b;
    while (scanf("%d%d", &n, &b) != EOF)
        printf("%d %d\n", cal_zero(n, b), cal_digit(n, b));
    return 0;
}