QR分解

最新推荐文章于 2025-11-02 21:59:25 发布
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本文记录了在阅读张贤达《矩阵分析与应用》中关于Householder QR分解时发现的错误。主要讨论了Householder变换用于QR分解时，书中公式存在的问题，指出必须修正为特定的公式以确保得到正交矩阵。同时，文中还提到了书中线性方程组最小二乘解示例中的计算错误，以及后续算法的可靠性问题。

最近在看张贤达老师的《矩阵分析与应用》，在看到HouseHolder的QR分解时，看到了书中的一些错误。现在记录一下。

HouseHolder变换可以实现任意mxn矩阵A的QR分解，其原理是使用变维向量的HouseHolder变换，使得该向量除第一个元素以外，其它元素都变为0.

HouseHolder向量取值:

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### QR分解的概念与实现方法 QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵乘积的形式。具体而言，任意一个实数方阵 \( A \) 可以被分解为 \( A = QR \)，其中 \( Q \) 是一个正交矩阵（满足 \( Q^TQ = I \)），\( R \) 是一个上三角矩阵[^2]。 #### QR分解的数学定义 对于一个 \( m \times n \) 的矩阵 \( A \)，QR分解的目标是找到两个矩阵 \( Q \) 和 \( R \)，使得： \[ A = QR \] - \( Q \) 是一个 \( m \times n \) 的矩阵，其列向量是标准正交的。 - \( R \) 是一个 \( n \times n \) 的上三角矩阵。 #### QR分解的实现方法 QR分解可以通过多种算法实现，常见的包括 Gram-Schmidt 正交化、Householder 变换和 Givens 旋转等方法[^2]。 1. **Gram-Schmidt 正交化** Gram-Schmidt 方法通过逐步构造正交基来实现 QR 分解。假设矩阵 \( A \) 的列向量为 \( a_1, a_2, \dots, a_n \)，则可以按照以下步骤进行： - 初始化 \( q_1 = \frac{a_1}{\|a_1\|} \)。 - 对于每个后续向量 \( a_k \)，从 \( a_k \) 中减去它在之前所有正交向量上的投影，得到新的正交向量 \( b_k \)，然后将其标准化为 \( q_k = \frac{b_k}{\|b_k\|} \)。 - 构造矩阵 \( Q \) 的列向量为 \( q_1, q_2, \dots, q_n \)，并计算 \( R \) 为 \( R = Q^T A \)。 下面是一个基于 Gram-Schmidt 正交化的 Python 实现示例： ```python import numpy as np def gram_schmidt_qr(A): m, n = A.shape Q = np.zeros((m, n)) R = np.zeros((n, n)) for j in range(n): v = A[:, j] for i in range(j): R[i, j] = np.dot(Q[:, i].T, A[:, j]) v = v - R[i, j] * Q[:, i] R[j, j] = np.linalg.norm(v) Q[:, j] = v / R[j, j] return Q, R # 示例矩阵 A = np.array([[12, 9, -4], [7, 4, 5], [6, -3, 21], [6, 15, 8]], dtype=float) Q, R = gram_schmidt_qr(A) print("Q:\n", Q) print("R:\n", R) ``` 2. **Householder 变换** Householder 方法通过构造一系列反射矩阵来实现 QR 分解。这种方法通常比 Gram-Schmidt 更数值稳定。每次反射会将矩阵的一列消去到只剩下一个非零元素，从而逐步形成上三角矩阵 \( R \)。 3. **Givens 旋转** Givens 方法通过构造一系列平面旋转矩阵来实现 QR 分解。每次旋转会将矩阵的一个元素变为零，从而逐步形成上三角矩阵 \( R \)。 #### 数值稳定性与应用 在实际应用中，QR 分解常用于求解线性方程组、最小二乘问题以及特征值计算等问题。由于 Gram-Schmidt 方法可能存在数值不稳定性，因此在需要高精度的情况下，通常推荐使用 Householder 或 Givens 方法[^1]。 --- ###
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