QR分解

最新推荐文章于 2024-07-21 22:21:35 发布
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本文记录了在阅读张贤达《矩阵分析与应用》中关于Householder QR分解时发现的错误。主要讨论了Householder变换用于QR分解时，书中公式存在的问题，指出必须修正为特定的公式以确保得到正交矩阵。同时，文中还提到了书中线性方程组最小二乘解示例中的计算错误，以及后续算法的可靠性问题。

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最近在看张贤达老师的《矩阵分析与应用》，在看到HouseHolder的QR分解时，看到了书中的一些错误。现在记录一下。

HouseHolder变换可以实现任意mxn矩阵A的QR分解，其原理是使用变维向量的HouseHolder变换，使得该向量除第一个元素以外，其它元素都变为0.

HouseHolder向量取值:

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householder进行qr分解例子
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<think>嗯，用户想找关于Householder方法进行QR分解的例子。好的，我需要先回忆一下Householder变换的基本原理。Householder反射是一种线性变换，可以将向量反射到某个坐标轴方向，这样就能逐步将矩阵的上三角部分化为零，从而实现QR分解。 首先，我应该解释一下Householder QR分解的步骤。通常，对于一个矩阵A，每一步都会选择一个Householder矩阵H_i，使得当应用H_i到A时，当前列的下方元素都被清零。这个过程需要从第一列开始，逐步处理每一列，直到矩阵变成上三角矩阵R，而Q则是所有H_i矩阵的乘积的转置。 接下来，用户需要一个具体的例子，所以最好用一个小矩阵来演示。比如一个3x2的矩阵，这样计算量不会太大，容易手工验证。例如，选择矩阵A = [[1, 1], [1, 0], [0, 1]]。然后按照步骤分解。 第一步处理第一列。计算该列的向量，找到Householder向量u，使得反射后第一列下面的元素都为零。这里需要计算反射向量u，然后构造H1。接着应用H1到A，得到新的矩阵，第一列下方应该为零。 然后处理第二列，这时候只需要考虑子矩阵，忽略已经处理过的第一行和第一列。同样构造H2，应用之后得到上三角矩阵R。最后Q就是H1*H2的转置，因为H1和H2都是正交矩阵，所以Q是正交矩阵。 需要注意的是，每个Householder矩阵的维度可能会随着步骤变化，但通常可以通过分块矩阵来处理，保持与原始矩阵相同的维度。同时，计算过程中要注意数值稳定性，比如避免除以零的情况，但在这个例子中可能不需要考虑太复杂的情况。 可能用户还会想知道Householder方法与其他QR分解方法（如Gram-Schmidt）的区别，或者如何在实际应用中实现它。所以在相关问题里可以提出来，引导用户进一步学习。 最后，要确保所有的数学公式都用正确的LaTeX格式，行内公式用$...$，独立公式用$$...$$，并检查语法是否正确。例如，向量的范数写成$\|x\|$，矩阵转置用$H^T$等等。 总结一下，回答的结构应该是先介绍步骤，再给出具体例子，分步计算，然后展示代码示例（如果有的话），最后生成相关问题。确保引用正确，如果有参考来源的话加上引用标识，但这里用户没有提供引用，所以可能不需要。</think>### Householder方法进行QR分解示例 Householder QR分解通过反射变换将矩阵$A$分解为正交矩阵$Q$和上三角矩阵$R$，具体步骤如下： 1. 对矩阵$A$的第$k$列构造Householder反射矩阵$H_k$，使得该列下方元素归零 2. 重复应用反射矩阵直到完成上三角化：$R = H_n \cdots H_1A$ 3. 正交矩阵$Q = (H_n \cdots H_1)^T$ **示例**：分解矩阵$A = \begin{bmatrix}1&1\\1&0\\0&1\end{bmatrix}$ **步骤1**：处理第一列 定义向量$v_1 = a_1 - \|a_1\|e_1 = \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} - \sqrt{2}\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$ 计算Householder矩阵： $$ H_1 = I - \frac{2}{v_1^Tv_1}v_1v_1^T $$ 应用变换后得到： $$ H_1A = \begin{bmatrix} -\sqrt{2}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0&1 \end{bmatrix} $$ **步骤2**：处理子矩阵$\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\1\end{bmatrix}$ 构造$H_2$使第二列下方元素归零，最终得到： $$ R = \begin{bmatrix} -\sqrt{2}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0&-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \\ 0&0 \end{bmatrix}, \quad Q = H_1H_2 $$ ```python import numpy as np def householder_qr(A): m, n = A.shape Q = np.eye(m) R = A.copy().astype(float) for k in range(n): x = R[k:, k] e = np.zeros_like(x) e[0] = np.linalg.norm(x) u = x - e H = np.eye(m) H[k:,k:] -= 2 * np.outer(u, u) / (u @ u) R = H @ R Q = H @ Q return Q.T, R A = np.array([[1,1],[1,0],[0,1]]) Q, R = householder_qr(A) ```
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