算法竞赛入门经典（紫书）第三章——Floating-Point Numbers UVA-11809

最新推荐文章于 2024-11-04 11:22:28 发布

Alba_126

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分类专栏： # 紫书

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本文详细解析了一种特定浮点数存储机制的工作原理，包括如何通过尾数和阶码来确定最大数值，并通过数学推导及编程实现，提供了一个有效的解决方案来找出对应的尾数位数(M)和阶码位数(E)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：
题目介绍了浮点数存储的方法，尾数有 M 位，阶码有 E 位，还有两位符号位分别表示尾数的符号和阶码的符号。现在给出对应一种 M 和 E 的能够表示的最大数，要求判断出 M 和 E 的值，其中 M 属于 (0, 9)，E 属于 (1, 30)。

思路：
题目的 Input 中说有 300 行输入，且 M 属于 (0, 9)，E 属于 (1, 30)，刚好有 300 种情况，我们会去朝着打表的方向去想。
我们先将对应 M 和 E 的浮点数最大值求出来，如下图，浮点数最大值的二进制形式应该是这样的。

换算成十进制的数应该是
$(2^{M+1}-1) \times 2^{2^E-M-2}$
$= 2^{M+1} \times 2^{2^E-M-2} - 2^{2^E-M-2}$
$= 2^{2^E-1}-2^{2^E-M-2}$
$= 2^{2^E-1} \times (1-2^{-M-1})$

又题目的输入是 $A \times 10^B$ ，所以有
$A \times 10^B = 2^{2^E-1} \times (1-2^{-M-1})$

我们希望的是事先通过打表算出上面等式的右边部分，然后和输入的数据，即左边部分进行比较找到 A 和 B。
但是现在的左边部分太大了，比如样例一就有 10 的 76 次方多了，所以还得另想办法。
用数学的办法，我们将等式两边取对数，得到
$lgA+B = lg2^{2^E-1} + lg(1-2^{-M-1})$
$\Rightarrow lgA+B = (2^E-1)\times lg2 + lg(1-2^{-M-1})$

有了上面的等式，我们就可以打表啦

注意：
1.如果读取数据时用 double 型读取，读取不到 A 和 B，所以我们选择把输入当成字符串读取，然后处理出 A 和 B。
2. lg 的函数应该是 log10()，不是 log()。log() 函数是 ln。我就在这弄错了。
3. 浮点数的比较要取绝对值然后和较小的一个数比较，这里用的是 1e-4。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<stack>
#include<queue>
#include<utility>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<sstream>
using namespace std;
typedef long long LL;

char ch[30];
double A;
double B;
double num[15][35];

int main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    //初始化数据
    for(int M=0; M<=9; M++){
        for(int E=1; E<=30; E++){
            num[M][E] = (pow(2, E)-1)*log10(2) + log10(1-pow(2, -M-1));
            //printf("M = %d, E = %d, num = %.15lf\n", M, E, num[M][E]);
        }
    }
    while(scanf("%s", ch)==1 && strcmp(ch, "0e0")!=0){
        //输入处理
        A = B = 0;
        int len = strlen(ch);
        int i = 0;
        for(; ch[i]!='.'; i++){
            A *= 10;
            A += ch[i]-'0';
        }
        i++;
        for(double w = 1; ch[i]!='e'; i++){
            w /= 10;
            A += w*(double)(ch[i]-'0');
        }
        i++;
        for(; i<len; i++){
            B *= 10;
            B += ch[i]-'0';
        }

        //printf("%.15lfe%.15lf\n", A, B);
        double C = B+log10(A);
        //printf("C = %.15lf\n", C);
        bool ok = false;
        for(int i=0; i<=9; i++){
            for(int j=1; j<=30; j++){
                if(fabs(C-num[i][j]) < 1e-4){
                    ok = true;
                    printf("%d %d\n", i, j);
                    break;
                }
            }
            if(ok) break;
        }
    }
    return 0;
}