状态压缩·一 hiho一下第 8 周

题意： 有 N 个数，从中选取尽可能多的数但要保证连续的 M 个数中不能有超过 Q 个数被选中。

思路： 动态规划的题目，思考状态是什么，新的状态是怎么由旧状态推出来的。
我们可以把状态定义为从第 1 到 i 个数并且第 i-M+1 到 i 个数的选取状况为 j 的最多清扫垃圾数，即 dp[i][j]。
那么新的状态是怎么由旧的状态推出来的呢？

当前状态如上图所示，则当前的状态的值只与第 i-M 位选取或不选取有关，所以状态转移方程为

$$dp[i][j] = max(dp[i-1][j>>1], dp[i-1][j>>1+1<<(M-1)])+(j \verb'&' 1)\times w[i]$$

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<stack>
#include<queue>
#include<utility>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<sstream>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int two[11] = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024};  //2 的 i 次方等于 two[i]

int N, M, Q;
int w[1010];
int dp[1010][1025];   //dp[i][j] 表示从 1 到 i 的最后 M 个数的选取状况为 j 的最大清理垃圾数
int num[1025];  //num[i] 表示将 i 表示成二进制后有几个 1


int main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    scanf("%d%d%d", &N, &M, &Q);

    num[0] = 0; num[1] = 1;
    for (int i=2; i<two[M]; ++i){
        num[i] = num[i>>1] + num[i&1];
    }

    for(int i=1; i<=N; i++){
        scanf("%d", &w[i]);
    }

    for(int i=1; i<=N; i++){
        for(int j=0; j<two[M]; j++){
            if(num[j] <= Q){
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j>>1], dp[i-1][(j>>1)+two[M-1]]) + (j&1)*w[i];
            }
        }
    }

    int ans = 0;
    for(int i=0; i<two[M]; i++){
        ans = max(ans, dp[N][i]);
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

对空间进行优化后的代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<stack>
#include<queue>
#include<utility>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<sstream>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int two[11] = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024};  //2 的 i 次方等于 two[i]

int N, M, Q;
int w[1010];
int dp[2][1025];   //dp[i][j] 表示从 1 到 i 的最后 M 个数的选取状况为 j 的最大清理垃圾数
int num[1025];  //num[i] 表示将 i 表示成二进制后有几个 1


int main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    scanf("%d%d%d", &N, &M, &Q);

    num[0] = 0; num[1] = 1;
    for (int i=2; i<two[M]; ++i){
        num[i] = num[i>>1] + num[i&1];
    }

    for(int i=1; i<=N; i++){
        scanf("%d", &w[i]);
    }

    for(int i=1; i<=N; i++){
        for(int j=0; j<two[M]; j++){
            if(num[j] <= Q){
                dp[i&1][j] = max(dp[(i-1)&1][j>>1], dp[(i-1)&1][(j>>1)+two[M-1]]) + (j&1)*w[i];
            }
        }
    }

    int ans = 0;
    for(int i=0; i<two[M]; i++){
        ans = max(ans, dp[N&1][i]);
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}