31、医学图像分析中的活动轮廓、水平集与配准归一化方法

医学图像分析中的活动轮廓、水平集与配准归一化方法

1. 活动轮廓与活动表面相关理论

1.1 欧拉 - 拉格朗日方程与水平集演化

对于形如 (F(f (x),f ′(x),x)) 的泛函，将 (f (x)) 替换为 (\varphi(x))，(f ′(x)) 替换为 (\nabla\varphi(x)) 后，可得到欧拉 - 拉格朗日方程：
[
\frac{dE}{df} = \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f ′} - \frac{\partial F}{\partial f} = 0
]
在 Caselles 等人的研究中，得出 (\varphi(x(t),t)) 关于时间的演化方程为：
[
\frac{\partial\varphi}{\partial t} (x) = |\nabla\varphi|\text{div}\left( g\left( I(x) \right) \frac{\nabla\varphi(x)}{|\nabla\varphi(x)|} \right) = g\left( I(x) \right)|\nabla\varphi(x)|\kappa(x) + \nabla g\left( I(x) \right) \nabla\varphi(x)
]
其中，(t = 0) 时的函数 (\varphi(x(0),0)) 是有符号距离函数，其演化遵循上述方程。并且，初始函数的选择不影响最终结果。给定初始位置后，水平集将在由图像属性定义的黎曼空间中沿最短距离曲线演化。函数 (g) 的表达式为：
[
g(x) = \frac{1}{1 +