38、最近邻规则与超立方体空间中的模式识别

最近邻规则与超立方体空间中的模式识别

在模式识别领域，最近邻规则是一种常用且有效的分类方法。本文将深入探讨可变度量最近邻规则、基于删除估计的 k 值选择，以及超立方体和离散空间中的模式识别问题。

可变度量最近邻规则

在最近邻规则中，数据可以用于选择合适的度量。对于 k - 最近邻规则，我们可以根据数据中的某些尺度信息来调整度量。例如，计算两点 $X_1$ 和 $X_2$ 之间的距离可以使用公式：
[
\left\lVert A^T(X_1 - X_2)\right\rVert = \left((X_1 - X_2)^T AA^T(X_1 - X_2)\right)^{1/2} = \left((X_1 - X_2)^T \Sigma (X_1 - X_2)\right)^{1/2}
]
其中，$(X_1 - X_2)$ 是列向量，$(\cdot)^T$ 表示其转置，$A$ 是 $d \times d$ 的变换矩阵，$\Sigma = AA^T$ 是正定矩阵。$A$ 或 $\Sigma$ 的元素可以根据一些启发式公式从数据中确定。

主成分分析的目标是找到一个变换矩阵 $A$，使得向量 $A^T X$ 的分量具有单位方差且不相关。这些方法通常基于估计 $X$ 的协方差矩阵的特征值。

下面给出一个关于一致性的定理：
定理 26.3 ：设随机度量 $P_n$ 具有形式 $P_n(X, y) = \left\lVert A_n^T (x - y)\right\rVert$，其中矩阵 $A_n$ 是 $X_1, \cdots, X_n$ 的函数。假设距离相等的情况发生的概率为零，并且存